首先（標題中已經暗示了，而且是顯而易見的）， A {\displaystyle \mathbf {A} } 必須是對角化的。其次，求出 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的特徵值和特徵向量，並形成矩陣 T {\displaystyle \mathbf {T} } ，它是一個特徵向量的增廣矩陣，以及 D {\displaystyle \mathbf {D} } ，它是一個矩陣，包含在主對角線上的對應特徵值，與對應特徵向量位於同一列。然後，我們的中心問題是
X ′ = A X + G ( t ) {\displaystyle \mathbf {X} '=\mathbf {AX} +\mathbf {G} (t)}
我們代入
T Y ′ = A T Y + G ( t ) {\displaystyle \mathbf {TY} '=\mathbf {ATY} +\mathbf {G} (t)}
然後左乘以 T − 1 {\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}}
Y ′ = T − 1 A T Y + T − 1 G ( t ) {\displaystyle \mathbf {Y} '=\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {ATY} +\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {G} (t)}
根據線性代數，我們得到以下恆等式
D = T − 1 A T {\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {AT} }
因此
Y ′ = D Y + T − 1 G ( t ) {\displaystyle \mathbf {Y} '=\mathbf {DY} +\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {G} (t)}
由於對角矩陣的性質，問題變成了多個一維常微分方程組，可以求解 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } ，並用它找出 X {\displaystyle \mathbf {X} } 。
必須是對角化的。其次，求出 的特徵值和特徵向量，並形成矩陣 
，它是一個特徵向量的增廣矩陣，以及 
，它是一個矩陣，包含在主對角線上的對應特徵值，與對應特徵向量位於同一列。然後，我們的中心問題是
，並用它找出 
。
