線性代數與微分方程/齊次線性微分方程/重複特徵值方法

當特徵值重複時，我們遇到了類似於普通微分方程中根重複的情況，我們得到相同的解重複，這不是線性無關的，這表明存在不同的解。 由於這種情況與普通微分方程非常相似，讓我們嘗試 $\mathbf {X} =\mathbf {u} te^{\mathbf {\lambda } t}$ 對於 $\mathbf {X} '=\mathbf {A} \mathbf {X}$，我們看到這不起作用；但是， $\mathbf {X} =(\mathbf {B} t+\mathbf {C} )e^{\mathbf {\lambda } t}$ 確實有效（對於細心的讀者，這暗示了不定係數法與沒有線性代數的微分方程相比的變化）。

事實上，如果我們使用這個，我們看到 $\mathbf {B} =\mathbf {u}$，其中 $\mathbf {u}$ 是一個典型的特徵向量；並且我們看到 $\mathbf {C} =\mathbf {n}$，其中 $\mathbf {n}$ 是由 $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {C} =\mathbf {B}$ 定義的正常特徵向量。

因此，我們的基本解集是： $\{\mathbf {u} te^{\lambda t}+\mathbf {n} e^{\lambda t};\mathbf {u} e^{\lambda t}\}$

使用相同的方法，可以類似地求解高階問題。