當特徵值變為複數時，從數學角度來說，並沒有什麼問題。但是，在某些物理應用中（如無阻尼振盪），理解虛數解的意義存在問題。因此，人們努力嘗試“數學隱藏”複數變數，以獲得物理學家和工程師更容易理解的答案。本質上，我們有一個部分看起來像這樣的解決方案
( α + β ⋅ i ) ⋅ e r + i λ 1 ⋅ t {\displaystyle (\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{r+i\lambda _{1}\cdot t}}
但根據尤拉公式
( α + β ⋅ i ) ⋅ e r ( c o s ( λ 1 ⋅ t ) + i ⋅ s i n ( λ 1 ⋅ t ) ) {\displaystyle (\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{r}(cos(\lambda _{1}\cdot t)+i\cdot sin(\lambda _{1}\cdot t))}
現在我們展開這些項
e r ( α ⋅ c o s ( λ 1 ⋅ t ) − β ⋅ s i n ( λ 1 ⋅ t ) ) + i ⋅ e r ( β ⋅ c o s ( λ 1 ⋅ t ) + α ⋅ s i n ( λ 1 ⋅ t ) ) {\displaystyle e^{r}(\alpha \cdot cos(\lambda _{1}\cdot t)-\beta \cdot sin(\lambda _{1}\cdot t))+i\cdot e^{r}(\beta \cdot cos(\lambda _{1}\cdot t)+\alpha \cdot sin(\lambda _{1}\cdot t))}
由於這是一個兩項的線性組合， i {\displaystyle i} 是一個常數（複數，但仍然是常數），每一部分都是解集中的一個元素，並且可以從中構造一般解。
是一個常數（複數，但仍然是常數），每一部分都是解集中的一個元素，並且可以從中構造一般解。
