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我們稱以下形式的表示式

X' = A ⋅ X + G(t)

如果 G(t)≡0，則為齊次。現在，在之前的微分方程方法中，結果表明X的表示式中包含超越數e的指數，因此，如果我們開發一個唯一性定理，我們可以用這種形式定義一個可能的解，將其代入方程，並確定這個解是否有效，如果是，如何得到這個解及其相應的指數。

存在性和唯一性定理

因此，由於指數函式在更簡單的微分方程中多次出現，我們猜想X的解為X = u ⋅ $e^{\lambda t}$ ，其中u是一個係數矩陣。

因此

$\lambda \mathbf {u} e^{\lambda t}=\mathbf {A} \mathbf {u} e^{\lambda t}$

$\lambda e^{\lambda t}=\mathbf {A} e^{\lambda t}$

$(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =0$

這裡存在一個謊言，我們還要做另一個假設：A為常數矩陣；但這正是特徵值-特徵向量對的定義！因此，對於一個二階矩陣，存在兩個線性無關的解，因此根據疊加原理，將這兩個解的增廣矩陣乘以常數矩陣，可以得到我們正在尋找的基本解集。

然而，由於這些特徵值的性質（以及我們希望得到實數解，以幫助分析使用這些微分技術的物理模型），存在三種可能的特徵值對情況，可以創造出不同的基本解集