線性代數與微分方程/非齊次線性微分方程/引數變化

與普通微分方程中的引數變化（這裡有很多相似之處！）一樣，我們取一個基本解，並使用一個待求向量與之相乘，看看我們是否可以透過這種方法找到另一個線性無關的解。換句話說，由於通解可以表示為 $\mathbf {c\psi }$，其中 $\mathbf {c}$ 是常數矩陣，而 $\mathbf {\psi }$ 是齊次方程的線性無關解集，我們嘗試以下形式

$\mathbf {X} =\mathbf {u\psi }$

並確定 $\mathbf {u}$ 以找到唯一的解。數學運算相當直接，留給讀者作為練習，結果得到

$\mathbf {X} =\mathbf {\psi } (t)\mathbf {\psi } ^{-1}(t_{0})\mathbf {X} ^{0}+\mathbf {\psi } (t)\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\psi } ^{-1}(s)\mathbf {g} (s)ds$

…這是一個相當強大、直接但極其複雜的公式。