波/衍射光柵

波 : 二維和三維波
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問題

衍射光柵

由於雙縫情況下的干涉峰的角間距 $\Delta \theta$ 取決於入射波的波長，所以雙縫系統可以作為一個粗略的裝置，來區分作用在縫隙上的非正弦波的不同分量的波長。但是，如果增加更多縫隙，並保持縫隙之間的均勻間距 $d$ ，我們得到一個更復雜的裝置，用於區分光束分量。這被稱為衍射光柵。

圖 2.17-2.19 分別顯示了 2、4 和 16 個縫隙的光柵的衍射圖樣的振幅和強度。請注意，干涉峰的位置保持不變，但隨著縫隙數量的增加，峰值的銳度增加。

峰值的寬度實際上與光柵的總寬度有關， $w=nd$ ，其中 $n$ 是縫隙的數量。將此寬度視為一個大的單縫的尺寸，單縫方程 $\alpha _{max}=\lambda /(2w)$ ，告訴我們峰值的角寬度。

干涉峰的角寬度由單縫方程控制，而它們的角位置由雙縫方程控制。為了簡單起見，我們假設 $\vert \theta \vert <<1$ ，這樣我們就可以對雙縫方程進行小角度近似， $m\lambda =d\sin \theta \approx d\theta$ ，並提出以下問題：兩個波長必須相差多少才能使兩個波的干涉峰不重疊？為了使峰值可辨別，它們在 $\theta$ 上的間隔應大於每個峰值的角寬度， $\alpha _{max}$

\Delta \theta >\alpha _{max}.

(3.24)

將上述表示式代入 $\Delta \theta$ 和 $\alpha _{max}$ ，並解出 $\Delta \lambda$ ，得到 $\Delta \lambda >\lambda /(2mn)$ ，其中 $n=w/d$ 是衍射光柵中的狹縫數。因此，可由衍射光柵分辨的波長之間的分數差僅取決於干涉級數 $m$ 和光柵中的狹縫數 $n$ 。

{\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}>{\frac {1}{2mn}}.

(3.25)

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