波/平面波

波 : 二維和三維波
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問題

平面波

二維或三維的平面波類似於一維的正弦波，只是波峰和波谷不是點，而是形成與波傳播方向垂直的線（二維）或平面（三維）。圖 2.5 顯示了二維的平面正弦波。大箭頭是稱為波矢的向量，它定義了（1）波傳播方向，其方向垂直於波前，以及（2）波數，其長度由其長度定義。我們可以將波前視為沿波峰的線。三維平面正弦波在某個時刻的位移方程為

$A(x,y,z)=\sin({\mbox{k}}\cdot {\mbox{r}})=\sin(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z).$ (3.9)

圖 2.5: 二維平面正弦波的定義草圖。波前是相位恆定的表面，相隔一個波長。波矢垂直於波前，其長度是波數。

由於波前是相位恆定的線或面，因此定義波前的方程只是 ${\mbox{k}}\cdot {\mbox{r}}=const$。

在二維情況下，我們只需設定 $k_{z}=0$。因此，二維的波前，或相位恆定的線 $\phi$ 由以下方程定義

${\mbox{k}}\cdot {\mbox{r}}=k_{x}x+k_{y}y=\phi \quad {\mbox{(two dimensions)}}.$ (3.10)

這很容易求解 $y$ 以獲得二維波前的斜率和截距。

對於一維波，波的時間演化是透過新增項 $-\omega t$ 到波的相位而獲得的。在三維中，波位移作為空間和時間的函式由以下公式給出

$A(x,y,z,t)=\sin(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-\omega t).$ (3.11)

頻率通常取決於波矢的所有三個分量。此函式的形式，$\omega =\omega (k_{x},k_{y},k_{z})$，與一維情況一樣，稱為 *色散關係*，包含有關波物理行為的資訊。

二維波的色散關係的一些示例如下

• 真空中的二維光波服從

$\omega =c(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})^{1/2}\quad {\mbox{(light)}},$ (3.12)

其中 $c$ 是真空中的光速。

• 二維深海海洋波服從

$\omega =g^{1/2}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})^{1/4}\quad {\mbox{(ocean waves)}},$ (3.13)

其中 $g$ 是地球引力場強度，與之前一樣。

• 某些型別的侷限於垂直 $x-z$ 平面的大氣波，被稱為重力波（不要與廣義相對論中的引力波混淆）3.1 遵循

$\omega ={\frac {Nk_{x}}{k_{z}}}\quad {\mbox{(gravity waves)}},$ (3.14)

其中 $N$ 是一個常數，具有時間倒數的量綱，被稱為布倫特-維薩拉頻率。

圖 2.6：二維中三種波色散關係的等高線圖。在上面板中，曲線顯示頻率 $\omega$ 取常數值的線或等高線。對於光和海浪，頻率僅取決於波矢的大小，而對於重力波，它僅取決於波矢的方向，如右上角面板中角度 $\theta$ 所定義。這些對每種波型別的依賴關係在下面板中進行了說明。

這些色散關係的等高線圖在圖 2.6 的上面板中繪製。這些圖應像地形圖一樣解釋，其中線代表等高線。在圖 2.6 的情況下，則代表頻率的常數值。為簡便起見，等高線圖上沒有標記頻率的實際值，但在下面板中的圖表中進行了表示。這是可能的，因為頻率僅取決於波矢大小 $(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})^{1/2}$ 對於前兩個示例，並且僅取決於波矢方向 $\theta$ 對於第三個。