分形/數學/函式

函式

函式的屬性

• 變數的數量（一元函式，二元函式，多元函式）
• 變數的型別，即輸入和輸出的型別（實函式，向量值函式，複函式）

函式的示意圖，用比喻的方式描述為“機器”或“黑盒子”，對每個輸入產生相應的輸出

符號

符號的型別

• 函式式：$f(x)=x^{2}$.
• 箭頭：$x\mapsto x^{2}$

從 X 到 Y 的函式 f。紅色橢圓形 X 中的點集是 f 的定義域。

在擴充套件的箭頭符號中

• 第一行定義函式規則，無需為函式命名
• 第二行明確說明了定義域和陪域

${\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}$

輸入

輸入型別

• 數字
• 平面上的位置（函式為對映，迭代函式）
  • 角度加倍對映
  • 旋轉對映
  • 復二次對映
  • 有理對映
• 梯度中的位置（顏色傳遞函式）
• 整個平面（函式為幾何平面變換）

指定函式

• 透過列出函式值。例如，如果$A=\{1,2,3\}$，則可以定義函式$f\colon A\to \mathbb {R}$為$f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$
• 透過公式
• 透過遞迴關係。定義域為非負整數的函式，稱為序列，通常由遞迴關係定義。非負整數上的階乘函式 ($n\mapsto n!$) 是一個基本示例
• 使用微積分。許多函式可以定義為另一個函式的反導數。這就是自然對數的情況，它是 1/x 的反導數，在 x = 1 時為 0。另一個常見示例是誤差函式。更一般地說，許多函式，包括大多數特殊函式，可以定義為微分方程的解。最簡單的例子可能是指數函式，它可以定義為等於其導數並在 x = 0 時取值為 1 的唯一函式。

圖形

• 
  ${\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}$
• 
  $\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)$

變換

• 迭代
• 合成
• 反演

型別

• 多項式
• 有理數

有理函式

有理對映 f 是兩個多項式的比值

 $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$

其中

• p、q 是互質多項式 = p 和 q 是沒有公因式的多項式函式（如果有公因式，我們只需將其約掉） = 有理函式處於最簡形式
• f 不是常數函式
• p 是分子
• q 是分母，且 q 不為零
• f 是二維球面（黎曼球面）到其自身的可微對映。$f:S^{2}\to S^{2}$

零點和極點

• 有理函式 f(z) 的零點 = 分子 p(z) 的零點
• 有理函式 f(z) 的極點 = 分母 q(z) 的零點 = 垂直漸近線 = 分母等於零的值 = 有理函式未定義的點
• 有理函式 f 的零點（或極點）的重數 = 有理函式 f 的分子（或分母）的根的重數
• 複數極點或零點成複數共軛對出現

多項式函式和有理函式的區別

• 對於多項式，無窮大始終是超吸引不動點，對於有理函式則不成立。
• 有理函式這個術語有時包括多項式（作為退化或非真有理情況），有時只包括真有理函式（不包括多項式）

另請參閱

• 函式的導數
• 迭代對映的分析
• 週期
• NIST 數字數學函式庫