實分析/抽象代數基礎

在實數部分，許多在初等數學中熟悉的數字型別（例如整數或有理數）通常用某些性質來描述，例如服從交換律或結合律。這些性質通常在實分析中被描述為，並且不會被進一步提及，因為這些主題通常會超出實分析的範圍。因此，此頁面完全可選，適用於只學習實分析的人。然而，這些術語是更廣泛的數學領域的基礎，這些領域可能對您的數學旅程有興趣。因此，本節將說明抽象代數中討論的代數結構型別的基本知識，以及它們在初等數學中熟悉的數字集中是如何應用的。

請注意，以下頁面可能不嚴謹，也可能存在符號濫用！ 這只是為了提供一個主題的入門。對於那些希望瞭解更多關於抽象代數的人，以下連結w:抽象代數將帶您到維基百科頁面，並且華夏公益教科書抽象代數將更詳細地討論該主題。

定義

抽象代數可以被認為是研究代數運算的數學領域，就像分析可以被認為是研究極限的領域一樣。同樣，抽象代數可以被認為是對代數結構中代數性質之間關係的研究，而分析可以被認為是對透過引入極限而依次推匯出來的以下概念的研究。因此，抽象代數的基本構建塊是以下內容

代數結構的概念

一個集合

A

和一些運算

\ast

，滿足所有元素

a

在

A

中的某些公理性質。

運算是一個或多個輸入被“轉移”到某個輸出的符號。類似於極限計算某些值，以及導數和積分將方程轉換為其他方程一樣，運算將輸入轉換為其他輸出。抽象代數試影像我們在分析中使用變數來代替值一樣，在一般意義上為某些型別的運算“轉換”建立定理。

在實分析中，通常使用以下集合

自然數 $\mathbb {N}$
整數 $\mathbb {Z}$
有理數 $\mathbb {Q}$
實數 $\mathbb {R}$

以及通常給定它們以下運算

加法 $+$
減法 $-$
乘法 $\times$ 或 $\cdot$ 或變數之間沒有空格
除法 $\div$ 或 $^{-1}$ 或有理函式表示法
指數運算 $a^{x}$

它們的不同計算方法，要麼在其各自的部分中定義，要麼假定是透過初等數學已知的。

人們可能會注意到，本華夏公益教科書的第一部分本質上是將這些集合、運算以及運算的性質和功能作為公理化的真理來定義，以便迅速過渡到數學分析領域。這是開始高等數學的通常要求，以便為微積分、多項式和其他類似概念提供嚴謹性，而這些概念通常被人們談論數學時所歸因於數學物件。但是，本節將繞過這一點，並更深入地討論這些運算。

符號

抽象代數使用常見的符號形式，在整個數學中相對統一。然而，其符號中最顯著的方面是它對運算子變數的使用，這些變數通常用 $\ast$ 、 $\bullet$ 或 $\star$ 來表示。在通常的說法中，運算指的是完整的定義；運算子 指的是用來表示運算的符號；運算元 （也稱為輸入）指的是運算子將對其進行操作的變數；而元數指的是運算子中使用的運算元的個數。

簡潔地用數學符號寫出來，運算 $\ast$ 寫作

\ast :A\times B\times \cdots \times Z\rightarrow Y

其中集合 $A,B,\cdots ,Z$ 表示運算子操作的集合—— $\times$ 是用來分離每個運算元的符號，而集合 $Y$ 表示陪域（也稱為值域）。仔細觀察符號，就會發現運算子的符號模仿了函式的定義。這不是偶然的；運算子被定義為函式。

與函式一樣，集合之間的某些關係定義了運算子的特殊性質。我們將在後面的 #代數結構中詳細介紹其中許多性質。但是，有兩點很重要，需要定義在高等數學中經常看到的簡寫版本。首先，我們將定義兩個術語。

封閉的定義

如果運算子

\ast

的定義中的所有集合都相等，那麼該運算子就是封閉的。這被描述為

\ast :A\times \cdots \times A\rightarrow A

。

這通常寫為 "在 X 下封閉"，其中 X 是運算子的名稱。

二元運算子 的定義

一個運算子

\ast

接受兩個運算元。這被描述為

\ast :A\times B\rightarrow Y

由於許多常見的運算子（以及實分析中幾乎所有考察的運算子）都是二元且封閉的，因此對於這類運算子存在一種特殊的記法。對於任何給定的集合 $A$ 和運算子 $\ast$ ，該運算子作用於集合 $A$ 中的元素，並且也是二元且封閉的，則使用以下記法

(A,\ast )

幾乎所有傳統的運算子都是中綴；書寫運算的方式是在運算元之間插入運算子。這記作 $a\bullet b$ ，其中 $A$ 是運算子 $\ast$ 和元素 $a,b\in A$ 相容的某個集合。然而，其他記法包括字首，當運算子正式地寫在其運算元前面時，記作 $\ast (a,b)$ ，以及字尾，當運算子正式地寫在其運算元後面時，記作 $(a,b)\ast$ 。字首和字尾通常用於一元運算（只接受一個運算元的運算），並且它的括號通常會被省略。

性質

實分析中描述的代數結構通常使用以下數學性質。它們的包含或排除是區分不同代數結構的重要組成部分。一個非窮舉的列表包括

交換性質：輸入的位置是否影響輸出
結合性質：重複運算的求值順序是否影響輸出
分配性質：先求另一個運算的運算元是否影響輸出
逆元：對於任何給定的輸入，是否存在一個運算元，使得輸出為單位元
單位元：是否存在一個運算元，使得輸出為輸入

其他重要的性質是上述性質是左邊的還是右邊的；該性質是否僅在二元運算元在左邊或右邊時才會表現出來。

在包含了這些性質之後，需要注意的是，某些運算子通常用來暗示某種代數性質。常見的符號是 $+$ 和 $\times$ ，它們的使用方式與變數 $x$ 、 $y$ 和 $a$ 非常相似，用來暗示性質。總結一下，符號 $+$ 和 $\times$ 通常暗示分別在加法和乘法中表達的性質，而最主要的通常暗示的性質是分配性質，其中符號的作用與它們在算術中通常的作用相同。

數的代數結構

請注意，以下代數結構僅在與本華夏公益教科書中提到的數字集相關的情況下才會提及。更詳盡的列表可以在頁面 w:Category:Algebraic structures 中找到，更規範的列表可以在頁面 w:Algebraic structure 中找到。

使用抽象代數，在初等數學中對各種型別的數字及其運算子進行的代數運算成為了抽象代數概念的具體例子，例如多項式是函式的具體例子。這使得將代數定理，例如兩個二項式的乘法，轉化為對任何具有特定屬性運算子的變數系統有效的廣義定理變得非常容易。

為了列舉以下數字集，我們可以用適合抽象代數的方式對它們進行分類。

自然數

自然數 $\mathbb {N}$ （包括零）是

關於等式的自反的、對稱的和傳遞的
關於不等式的傳遞的

因此