高中數學擴充套件/補充/部分分式

高中數學擴充套件

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補充章節 — 素數和模算術 — 邏輯

數學證明 — 集合論和無窮過程 — 計數和生成函式 — 離散機率

矩陣 — 進一步的模算術 — 數學規劃 — 馬爾可夫鏈

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介紹

在我們開始之前，請考慮以下內容

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}$

我們如何計算這個總和？乍一看似乎很困難，但如果你用變數代替數字，上面的和中的每一項都會取以下形式

${\frac {1}{n\times (n+1)}}$

你可以將其改寫為

${\frac {(n+1)-n}{n\times (n+1)}}={\frac {(n+1)}{n\times (n+1)}}-{\frac {n}{n\times (n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$

因此我們可以將原始問題改寫如下

$({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+......+({\frac {1}{99}}-{\frac {1}{100}})$

重新分組

${\frac {1}{1}}+(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}})+....+(-{\frac {1}{99}}+{\frac {1}{99}})-{\frac {1}{100}})$

因此，除了第一項和最後一項之外的所有項都抵消了，得出

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{99\times 100}}=1-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$

信不信由你，我們剛剛做了部分分式！

部分分式是一種將包含乘積的複雜分式分解為更簡單分式之和的方法。

通用方法

那麼，我們如何進行部分分式呢？請看下面的例子

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}$

對分母進行因式分解

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}$

然後我們假設可以將其分解為兩個分式，分別以(z - 1)和(z - 2)為分母，設它們的分子分別為a和b：

${\frac {4z-5}{(z-1)(z-2)}}={\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z-2}}$

乘以(z - 1)(z - 2)

$4z-5=a(z-2)+b(z-1)$

$4z-5=az-2a+bz-b$

$4z-5=(a+b)z-(2a+b)$

因此，透過匹配 z 的同類冪的係數，我們有

${\begin{cases}a+b=4&({\text{A}})\\2a+b=5&({\text{B}})\end{cases}}$

此外

$({\text{B}})-({\text{A}}):a=1\to b=3$

因此

${\frac {4z-5}{z^{2}-3z+2}}={\frac {1}{z-1}}+{\frac {3}{z-2}}$

一般來說，此方法僅適用於真分數。分子指數大於分母指數的分數需要先進行除法。

1. Can you find an equivalent expression to $y={\frac {3p-21}{(p-5)p-14}}$ that is defined for $y={\frac {1}{3}}$ ?
TIP: Here, "defined" means having some value p for which the equation yields 1/3.

冪因子

在上一節中，我們討論了對分母進行因式分解，並將每個因子作為每個項的分母。但當存在重複因子時會發生什麼？我們能使用相同的方法嗎？請看下面的示例

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}$

除了上面建議的方法外，我們想使用另一種方法來處理這個問題。我們首先省略一些因子使其成為非重複形式，對其進行部分分式分解，然後將因子乘回去，然後對這兩個分數進行部分分式分解。

${\frac {1}{x+2}}\times {\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}$

對後半部分進行部分分式分解

${\frac {4x-1}{(x+2)(x-1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}$

乘以 (x + 2)(x - 1)

$4x-1=a(x-1)+b(x+2)$

$4x-1=a(x-1)+b(x+2)$

$4x-1\equiv (a+b)x+(2b-a)$

透過匹配 x 的同類冪的係數，我們有

${\begin{cases}a+b=4&({\text{A}})\\2b-a=-1&({\text{B}})\end{cases}}$

將 a = 4 - b 代入 (B) 中，

$2b-(4-b)=-1$

因此 b = 1 且 a = 3。

我們繼續

${\frac {1}{x+2}}\times \left({\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$

${\frac {3}{(x+2)^{2}}}+{\frac {1}{(x+2)(x-1)}}$

現在我們再次進行部分分式分解。

${\frac {1}{(x+2)(x-1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}$

乘以 (x + 2)(x - 1)

$1=a(x-1)+b(x+2)$

$1=(a+b)x+(2b-a)$

$0x+1=(a+b)x+(2b-a)$

透過匹配相同次冪的係數，我們得到

${\begin{cases}a+b=0&({\text{A}})\\2b-a=1&({\text{B}})\end{cases}}$

將a = -b代入(B)，我們得到

$2b-(-b)=1$

因此b = 1/3且a = -1/3。

所以最終，

${\frac {4x-1}{(x+2)^{2}(x-1)}}={\frac {3}{(x+2)^{2}}}-{\frac {1}{3(x+2)}}+{\frac {1}{3(x-1)}}$

2. What about ${\frac {3q+2}{({\frac {3}{2}}q^{2}+{\frac {3}{2}}q-6)q-6}}$ ?

二次因子

為了簡便起見，我們應該始終嘗試對分母進行因式分解。然而，在某些情況下，多項式因式分解會導致複數係數。由於這些分解不會簡化我們的任務，因此我們將保持多項式不變。也就是說，作為不可約二次因子

${\frac {7x^{2}+22x+25}{x^{3}+3x^{2}+2x+6}}={\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}$

處理二次因子時，我們應該使用以下部分分式

${\frac {bx+c}{x^{2}+2}}$

從而得到

${\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}={\frac {a}{x+3}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+2}}$

用 (x + 3)(x^2 + 2) 乘以等式兩邊

$7x^{2}+22x+25=a(x^{2}+2)+(bx+c)(x+3)$

$7x^{2}+22x+25=a(x^{2}+2)+(bx+c)(x+3)$

$7x^{2}+22x+25=(a+b)x^{2}+(3b+c)x+(2a+3c)$

透過匹配相同次冪的係數，我們得到

${\begin{cases}a+b=7&({\text{A}})\\3b+c=22&({\text{B}})\\2a+3c=25&({\text{C}})\end{cases}}$

求解方程組

$({\text{C}})-2({\text{A}})-3({\text{B}})=({\text{C}})-2({\text{A}})-3({\text{B}})$

$(2a+3c)-2(a+b)-3(3b+c)=25-2(7)-3(22)$

$-11b=-55$

因此 b = 5, a = 2 以及 c = 7.

最後

${\frac {7x^{2}+22x+25}{(x+3)(x^{2}+2)}}={\frac {2}{x+3}}+{\frac {5x+7}{x^{2}+2}}$

3. Try breaking down ${\frac {z^{2}+3z}{z^{3}+1}}$ .