物理學習指南/波的泛音

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波的泛音

對於繃緊弦的共振，第一諧波是由一個波腹和兩個波節組成的波形決定的。也就是說，弦的兩端是波節，因為它們不振動，而弦的中間是波腹，因為它經歷了幅度的最大變化。這意味著半個波長由共振結構的長度表示。

第一諧波的頻率等於波速除以弦的長度的兩倍。（回想一下，波速等於波長乘以頻率。）

F1 = v/2L

第一諧波的波長等於弦的長度的兩倍。

λ1 = 2L

“第n”個波長等於基波波長除以n。

λn = λ1/n

繃緊弦的諧波*

	諧波數	泛音數	F =	λ =
F1	第一諧波	---	F1 = v/2L	λ1 = 2L
F2	第二諧波	第一泛音	F2 = 2F1	λ2 =λ1/2
F3	第三諧波	第二泛音	F3 = 3F1	λ3 = λ1/3
Fn	第n個諧波	（第n-1）個泛音	Fn = nF1	λn = λ1/n

* 或任何具有兩個相同端點的波系統，例如具有兩個開放端或封閉端的管道。在具有兩個開放端的管道的情況下，管道的兩端有兩個波腹，管道中間有一個波節，但數學計算結果完全相同。

術語定義

頻率 (F): 單位：(1/s)，赫茲 (Hz) 基頻，第一諧波 (F)1: 系統允許的最低頻率（最長波長）。 弦的長度 (L):（或管道等）單位：米 (m)。 波長 (λ): 單位：米 (m)。

第一泛音是高於基頻 (F₁) 的第一個允許的諧波。

在具有兩個不同端點的系統的情況下（例如一端開口的管子），封閉端是波節，開口端是波腹。第一個共振頻率在管子中只有四分之一波。這意味著第一諧波的特徵是波長是管子長度的四倍。

F1 = v/4L

第一諧波的波長等於弦的長度的四倍。

λ1 = 4L

“第n”個波長等於基波波長除以n。

λn = λ1/n

請注意，在這種情況下，“n”必須是奇數，因為在這種情況下只有奇數諧波會產生共振。

具有兩個不同端點的系統的諧波*

	諧波數	泛音數	F =	λ =
F1	第一諧波	---	F1 = v/4L	λ1 = 4L
F2	第三諧波	第一泛音	F2 = 3F1	λ2 = λ1/3
F3	第五諧波	第二泛音	F3 = 5F1	λ3 = λ1/5
Fn	第n個諧波†	（第n-1）/2 個泛音	F(n-1)/2 = nF1	λn = λ1/n

* 例如，一端開口一端封閉的管道
†在這種情況下，只有奇數諧波會產生共振，因此 n 是一個奇數整數。

V_s: 聲速

• 取決於傳輸聲音的介質（空氣）的性質，例如其密度、溫度和“彈性”。這是一個複雜的方程式，我們只關注溫度。
• 隨著溫度升高而增加（分子移動更快）。
• 液體和固體的聲速高於氣體（分子更靠近）。
• 對於“室溫空氣”，聲速為每秒 340 米 (m/s)。
• 聲速在 20 攝氏度時為每秒 343 米。根據聲音傳播的材料和溫度，聲速會發生變化。