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運動學是對運動的描述。一個質點運動的完全描述使用三個術語——位置、速度和加速度。對於真實物體（不是數學點），平移運動學描述了物體質心在空間中的運動，而角運動學描述了物體繞其質心旋轉的方式。在本節中，我們只關注平移運動學。位置、位移、速度和加速度的定義如下。

位置

"位置"是一個相對術語，它描述了物體相對於某個選定的靜止點的位置，這個靜止點通常被稱為“原點”。

向量是一個既有大小又有方向的量，通常寫成一個標量列。也就是說，一個帶方向的數字。

在物理學中，向量通常描述物體的運動。例如，沃蒂土撥鼠向地上的一個洞移動了 10 米。

我們可以將向量分解成稱為“分量”的部分，其中向量是這些分量的總和。例如，二維向量被分解成x 和y 分量。

一維座標系

位移

\Delta {\vec {x}}\equiv {\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}\,

位移回答了“物體是否移動了？”這個問題。

注意 $\equiv$ 符號。此符號是一種“超級等於”符號，表明 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 不僅等於位移 $\Delta {\vec {x}}$ ，更重要的是，位移是由 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 操作定義的。

我們說 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 操作定義了位移，因為 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 提供了確定位移的逐步程式。

即

測量物體最初的位置。
測量物體在稍後的時間點的位置。
確定這兩個位置值的差。

請務必注意，位移不等於所走過的距離。

例如，想象一下沿著圓周走一圈。如果你回到起點，那麼你的位移為零，即使你顯然走過了一些距離。事實上，位移是所走過的平均距離。在你沿著圓周的旅行中，你的南北運動相互抵消，你的東西運動也相互抵消。

很明顯我們丟失了一些重要的資訊。重新獲得這些資訊的關鍵是使用更小的位移間隔。例如，與其在一個大的步驟中計算您沿圓形旅行的位移，不如考慮將圓形分成 16 個相等的段。計算您沿每個段所走的距離，然後將所有結果加起來。現在，您的總行程距離不再為零，而是近似於圓形的周長。您的近似值足夠好嗎？最終，這取決於您在特定應用程式中所需的精度級別，但幸運的是，您始終可以使用更精細的解析度。例如，我們可以將您的行程分成 32 個相等的段來獲得更好的近似值。

回到您繞圓形的旅行，您知道真實的距離就是圓形的周長。問題是我們經常面臨著確定真實行駛距離的實際限制。（例如，行駛路徑可能包含太多曲折。）幸運的是，我們始終可以確定位移，並且透過仔細選擇足夠小的位移步長，我們可以使用位移來獲得對真實行駛距離的相當好的近似值。（微積分的數學提供了一種透過使用逐漸改善的近似值來估計“真實值”的正式方法。）在接下來的討論中，我將用 $\Delta$ 替換 $\delta$ 來表示已經使用足夠小的位移步長來提供對真實行駛距離的足夠好的近似值。

速度

{\vec {v}}_{av}\equiv {\frac {{\vec {x_{f}}}-{\vec {x_{i}}}}{t_{f}-t_{i}}}\equiv {\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}

[Δ，delta，大寫希臘字母 D，是一個字首，通常用於表示差異。] 速度回答了“物體現在是否在移動，如果是，移動速度如何？”

我們再次有一個操作定義：我們被告知要執行哪些步驟來計算速度。

請注意，這是一個關於平均速度的定義。位移 Δx 是它所包含的較小位移的向量和，其中一些可能會互相抵消。相比之下，行駛距離是較小距離的標量和，所有這些距離都是非負數（它們是位移的大小）。因此，行駛距離可能大於位移的大小，如上面圓形旅行的示例。因此，平均速度可能很小（或為零，或為負），而速度為正。

如果我們小心地使用非常小的位移步長，使其非常接近於近似真實的行駛距離，那麼我們可以將瞬時速度的定義寫為

{\vec {v}}_{inst}\equiv {\frac {\vec {\delta x}}{\delta t}}

[δ 是小寫delta。] 或者，根據來自微積分的極限概念，我們有

{\vec {v}}_{inst}\equiv {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}

[d，與 Δ 和 δ 一樣，僅僅是一個字首；但是，它的使用明確地說明了這是一個足夠小的差異，因此由於對數量進行步進（而不是平滑變化）而產生的誤差變得可以忽略不計。]

加速度

{\vec {a}}_{av}\equiv {\frac {{\vec {v_{f}}}-{\vec {v_{i}}}}{t_{f}-t_{i}}}\equiv {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

加速度回答了“物體的速度是否在變化，如果是，變化速度如何？”

我們再次有一個操作定義。我們被告知要執行哪些步驟來計算加速度。

同樣，也要注意從技術上講，我們有一個關於平均加速度的定義。對於位移，如果我們小心地使用一系列小的速度變化，那麼我們可以將瞬時加速度的定義寫為

{\vec {a}}_{inst}\equiv {\frac {\delta {\vec {v}}}{\delta t}}

藉助微積分，我們有

{\vec {a}}_{inst}\equiv {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{dt^{2}}}

向量

請注意，上面給出的 **位移**、**速度** 和 **加速度** 的定義在許多術語上包含了小箭頭。小箭頭提醒我們，方向是位移、速度和加速度的重要組成部分。這些量是 **向量**。按照慣例，小箭頭放在字母上時始終指向右側。例如， ${\vec {v}}$ 只是提醒我們速度是一個向量，並 **不** 意味著該特定速度是向右的。

為什麼我們需要向量？舉一個簡單的例子，考慮速度。單純知道物體的運動速度是不夠的。我們還需要知道物體的運動方向。更重要的是，考慮一個物體可能以多少種不同的方式經歷加速度（速度的變化）。最終，物體可以以三種不同的方式加速

物體可能在加速。
物體可能在減速。
物體可能以恆定速度運動，同時改變其運動方向。

更一般的加速度只是 1 和 3 或 2 和 3 的組合。

重要的是，運動方向的變化與加速或減速一樣是一種加速度。

在經典力學中，沒有方向與時間相關聯（你無法指向下一個星期二）。因此， ${\vec {a}}_{av}$ 的定義告訴我們，加速度將指向速度變化 $\Delta {\vec {v}}$ 的方向。

理解 ** $\Delta {\vec {v}}$ 的方向決定了 ${\vec {a}}$ 的方向** 導致了三個非數學但非常有力的經驗法則

如果物體的速度和加速度方向相同，則物體的速度正在增加。
如果物體的速度和加速度方向相反，則物體的速度正在減小。
如果物體的速度和加速度相互垂直，則物體的初始速度保持恆定（在該初始方向上），而物體在加速度方向上的速度增加。想想一顆在垂直重力場中水平發射的子彈。由於一個方向上的速度保持恆定，而另一個方向上的速度增加，因此整體速度（絕對速度）也會增加。

同樣，更一般的運動只是 1 和 3 或 2 和 3 的組合。

使用這三個簡單的規則將極大地幫助你直觀地理解特定問題中正在發生的事情。實際上，大學物理第一學期的很大一部分只是這三個規則在不同格式下的應用。

運動方程（恆定加速度）

如果粒子的速度在相等的時間間隔內變化相同的量，無論這些間隔有多小，則該粒子被稱為以 **恆定加速度** 運動

{\frac {d{\vec {a}}}{dt}}=0\ \mathrm {\frac {m}{s^{3}}}

由於加速度是一個向量，恆定加速度意味著該向量的 **方向** 和 **大小** 在運動過程中都不會改變。這意味著平均加速度和瞬時加速度是相等的。我們可以利用這一點，透過對恆定加速度進行積分來推匯出速度關於時間的方程。

{\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}(0)+\int \limits _{0}^{t}{\boldsymbol {a}}\ dt

得到以下速度關於時間的方程。

{\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}_{0}+{\boldsymbol {a}}t

為了推匯出位置的方程，我們只需對速度方程進行積分。

{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}(0)+\int \limits _{0}^{t}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt

再次積分得到位置的方程。

{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}_{0}+{\boldsymbol {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}

以下是 **運動方程**

運動方程
方程	描述
${\vec {x}}={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}\$	位置隨時間變化
${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\$	速度隨時間變化

透過結合以上兩個公式並消去變數，可以得出以下公式。

$v^{2}=v_{0}^{2}+2{\vec {a}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})\$	消去時間（非常有用，參見能量章節）
${\vec {x}}={\vec {x}}_{0}+{\frac {{\vec {v}}_{0}t+{\vec {v}}t}{2}}$	消去加速度

符號
符號	描述
${\vec {v}}$	速度（在時間 t 時）
${\vec {v_{0}}}$	初始速度
${\vec {a}}$	（恆定）加速度
$t\$	時間（運動過程中的持續時間）
${\vec {x}}$	位置（在時間 t 時）
${\vec {x_{0}}}$	初始位置

一維加速度

二維加速度

（需要內容）

三維加速度

（需要內容）

運動中的力意味著什麼？

力意味著強度和力量。運動意味著移動。這就是為什麼我們在生活中需要力和運動。當我們想知道物體運動的速度、旅行以及其他涉及力和運動的事情時，我們就需要計算。……

我們如何計算速度？

如果你想計算平均速度、行駛距離或所用時間，你需要使用這個公式並記住它

 ${speed}={\frac {distance}{time\ taken}}$

這是一個易於使用的公式，你可以找到行駛距離、所用時間或平均速度，你需要至少2個值來找到完整的答案。

速度和速率是一樣的嗎？

速度是一個向量量，指的是“物體改變位置的速率”，而速率是一個標量量，不能為負數。想象一個快速移動的孩子，一步向前一步後退，總是回到最初的起始位置。雖然這可能導致瘋狂的活動，但它會導致零速度，因為孩子總是回到原始位置，運動永遠不會導致位置變化，換句話說， $\Delta {\vec {x}}$ 將為零。

速度以與速度相同的物理單位測量，但不包含方向元素。因此，速度是速度的大小分量。速度包含大小和方向分量。你可以將速度視為位移/持續時間，而速率可以視為距離/持續時間。

加速度

當汽車加速時，我們說它正在加速，當它減速時，我們說它正在減速。

我們如何計算它？

當我們想要計算它時，方法是這樣的：一輛卡車司機猛踩剎車，在5秒內從25米/秒減速到5米/秒。車輛的加速度是多少？

 ${acceleration}={\frac {change\ in\ velocity}{time\ taken}}={\frac {5-25}{5}}={\frac {-20}{5}}=-4\ ms^{-2}$

什麼是初始速度和最終速度？ 初始速度是運動開始之前或運動中間的速度，最終速度是運動停止時的速度。

還有另一種計算方法，是這樣的。這些方程式是主要的，這意味著如果你沒有最終速度，你將如何計算方程式？

這就是你將要計算的方式。

觀察運動

如果你想知道一個運動員跑得多快，你需要一個秒錶在手，然後當這個人開始跑步時，你啟動秒錶，當正在衝刺的人在終點停止時，你停止秒錶，看看他跑了多快，如果你想看看運動員是否在浪費他的能量，在他跑步的時候看看他的運動，你就可以知道他是否在浪費能量。

這個運動員正在跑步，當他跑步時，科學家可以透過秒錶和觀察他的動量來知道他是否在浪費能量。

測量加速度

取一個斜坡、一輛手推車、一些膠帶和一個秒錶，然後將膠帶放在斜坡上，將手推車放在斜坡上，秒錶放在你的手裡，當你釋放手推車時，開始計時手推車將以多快的速度移動，當手推車在末端停止時，停止計時。之後，在看到計時後，記錄下來，然後你讓斜坡稍微高一點，你會看到，它將如何一點一點地減速。

牛頓

艾薩克·牛頓是一位英國物理學家、數學家（在他的時代被稱為“自然哲學家”）、天文學家和鍊金術士。牛頓是有史以來最具影響力的科學家之一，他以對經典力學發展和獨立於戈特弗裡德·萊布尼茨發明微積分而聞名，除此之外，他還有其他貢獻。

牛頓運動定律

牛頓還以他的三條運動定律而聞名，這些定律描述了物體與其作用在它上面的力以及它對這些力的運動響應之間的關係。

第一定律（也稱為慣性定律）指出，每個物體都保持其靜止狀態或勻速直線運動狀態，除非受到外力的作用而被迫改變其狀態。慣性矩被定義為物質抵抗其運動狀態或靜止狀態發生任何變化的趨勢。
第二定律物體上的外力的向量和 $F$ 等於物體的質量 $m$ 乘以物體的加速度向量 $a$ ，或代數地 $F=ma$ .
第三定律指出，當一個物體對另一個物體施加力時，另一個物體同時施加大小相等、方向相反的力作用於第一個物體。

符號

一些有用的符號，我們已經見過和將要看到的

名稱	符號
行駛距離	$d$ 或 $s$
力	$F$
速度	${\vec {v}}$
初速度	${\vec {v}}_{0}$ 或 ${\vec {v}}_{i}$
末速度	${\vec {v}}_{f}$
速度變化	$\Delta {\vec {v}}$
加速度	${\vec {a}}$
質量	$m$
牛頓	$N$
重力	$G$
重量	$W$

力

力是任何能改變物體運動狀態的相互作用。換句話說，力可以使有質量的物體改變其速度。力也可以用直觀的概念來描述，例如推或拉。力既有大小又有方向，因此它是一個向量量。它以牛頓為單位測量，用符號 $F$ 表示。

如何計算力？

當我們想要計算力，並且我們有質量和加速度時，我們可以簡單地使用牛頓第二定律中所述的簡單公式，即 $F=ma$ ，其中 $m$ 是質量（或物體中物質的數量）， $a$ 是加速度。請注意，牛頓第二定律被定義為慣性的數值度量。

什麼是慣性？

慣性是物體保持其靜止狀態或勻速直線運動狀態的趨勢，除非受到外力作用。

羅伯特·胡克

羅伯特·胡克是一位英國博學家，他在科學革命中發揮了重要作用，透過實驗和理論工作都做出了貢獻。

胡克定律

胡克定律是物理學中的一個原理，它指出使彈簧伸長或壓縮某個距離 $X$ 所需的力 $F$ 與該距離成正比，或者代數上 $F=-kX$ ，其中 $k$ 是彈簧特性的一個常數因子，即其剛度。

位置

位移

速度

加速度

向量