波/一維示例

波 : 一維波
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13
示例 - 問題 - 解答 - 術語

示例

我們現在透過顯示由兩個正弦波疊加產生的位移來舉例說明相速度和群速度，如公式 (1.38) 所示，在$x$-$t$ 平面中。這是一個時空圖的例子，我們稍後將看到許多這樣的例子。

圖 1.16：兩個行進正弦波之和的淨位移在$x-t$ 平面中的繪製。短豎線表示位移較大且為正的位置，而短橫線表示位移較大且為負的位置。一個波的$k=4$ 和 $\omega =4$，而另一個波的$k=5$ 和 $\omega =5$。因此，$\Delta k=5-4=1$ 和 $\Delta \omega =5-4=1$，並且我們有$u=\Delta \omega /\Delta k=1$。請注意，第一個正弦波的相速度為$c_{1}=4/4=1$，第二個波的相速度為$c_{2}=5/5=1$。因此，在這種情況下，$c_{1}=c_{2}=u$。

圖 1.16 顯示了一個非色散的情況，其中相速度等於群速度。具有垂直和水平陰影線（短垂直線或短水平線）的區域表示波位移較大且為正或較大且為負的位置。大位移表示波包的位置。因此，可以透過在所需時間處在圖上畫一條水平線並檢查沿該線的波位移變化來確定任何給定時間的波和波包的位置。波的波峰由短豎線區域表示。請注意，隨著時間的推移，波峰向右移動。這對應于波包內波的運動。還要注意，波包，即大的正幅度和負幅度的寬區域，也隨著時間的推移向右移動。

由於速度是移動距離$\Delta x$除以經過時間$\Delta t$，圖1.16中直線的斜率$\Delta t/\Delta x$，是該直線所代表的任何事物的速度的倒數。在本例中，代表波峰（傾斜線，而不是短的水平線和垂直線）的線的斜率與代表波包的線的斜率相同，這表明兩者以相同的速度移動。由於波峰的移動速度是相速度，而波包的移動速度是群速度，因此這兩個速度相等，從而證實了這種情況的非色散性。

圖1.17：在$x$-$t$平面上繪製的兩個行進正弦波之和的淨位移。一個波具有$k=4.5$和$\omega =4$，而另一個波具有$k=5.5$和$\omega =6$。在這種情況下$\Delta k=5.5-4.5=1$，而$\Delta \omega =6-4=2$，因此群速度為$u=\Delta \omega /\Delta k=2/1=2$。但是，這兩個波的相速度為$c_{1}=4/4.5=0.889$和$c_{2}=6/5.5=1.091$。這兩個相速度的平均值約為$0.989$，因此在這種情況下，群速度大約是平均相速度的兩倍。

圖 1.18：在 $x$-$t$ 平面中繪製的兩個行進正弦波之和的淨位移。一個波的 $k=4$ 和 $\omega =5$，而另一個波的 $k=5$ 和 $\omega =4$。在這種情況下，你能計算出群速度和平均相速度嗎？這些速度與圖中明顯的相速度和群速度匹配嗎？

圖 1.17 顯示了一個色散波，其中群速度是相速度的兩倍，而圖 1.18 顯示了一個群速度實際上與相速度符號相反的情況。請確認每個圖中看到的相速度和群速度是否與根據指定的頻率和波數計算出的這些量的值相對應。

---

波 : 一維波
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13
示例 - 問題 - 解答 - 術語