波/一維波

波 : 一維波
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波的數學

我們從一個非常簡單的波的方程開始討論波，並描述其特性。這種波的基本方程是

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

其中 $y$ 是位置為 $x$ 且時間為 $t$ 的波的振幅。該方程描述了一個相當簡單的波，但大多數複雜的波只是更簡單波的疊加。如果我們在這個方程中將時間固定在 $t=0$，我們就得到

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}+\alpha \right)$

它看起來像這樣：[TODO - 新增圖形]

從圖形中我們可以看到每個引數都有其含義。 $a$ 是波的振幅，即波的高度。 $\lambda$ 是波長，即波的一個週期中從一個點到下一個週期的同一點的距離。 $\alpha$ 是波的相位，它使波向左或向右移動。波長是一個距離，通常以米、毫米甚至奈米為單位測量，具體取決於波的型別。相位是一個角度，以弧度為單位測量。

現在我們已經在地空間上繪製了波形，讓我們設定 $x=0$，並看看波如何隨著時間變化

$y=a\ \sin(-2\pi ft+\alpha )$

振幅 $a$ 和相位 $\alpha$ 保持不變，但波長消失了，出現了一個新的量：$f$，即頻率，或波上下移動的速度。頻率以時間的倒數為單位測量：在固定時間內，波上下移動多少次？通常使用赫茲或每秒一次作為單位。

現在讓我們將這兩幅圖結合起來，看看波是如何運動的。圖 3 是在空間和時間上繪製波形時波形的樣子。直線是簡單波到達最大值、最小值或零值（穿過 x 軸）的位置。

我們可以觀察零點來確定波的相速度。相速度是指波的一部分移動的速度。我們可以將其視為波的速度，但在更復雜的波中，它只是其中一種速度 - 稍後章節會詳細介紹。

我們可以透過將方程設定為零來獲得零點的方程。

$0=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha$

$x=f\lambda t-{\frac {\alpha \lambda }{2\pi }}$

您會看到，我們有一個直線方程，描述了一個以$f\lambda$速度移動的點。這給了我們波的相速度方程，即

${\mbox{velocity}}={\mbox{frequency}}\times {\mbox{wavelength}}\quad v=f\lambda$

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