波/一維波

波 : 一維波
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波的數學

我們從一個非常簡單的波的方程開始討論波，並描述其特徵。這種波的基本方程是

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

其中 $y$ 是波在位置 $x$ 和時間 $t$ 的高度。這個方程描述了一個相當簡單的波，但大多數複雜的波只是更簡單波的疊加。如果我們在時間 $t=0$ 處凍結這個方程，我們會得到

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}+\alpha \right)$

它看起來像這樣：[TODO - 新增一個圖]

從圖中我們可以看到三個引數中的每一個都有其含義。 $a$ 是波的振幅，即波的高度。 $\lambda$ 是波長，即波在一個週期中的一個部分到下一個週期中同一部分的距離。 $\alpha$ 是波的相位，它將波向左或向右移動。波長是一個距離，通常用米、毫米甚至奈米來衡量，具體取決於波。相位是一個角度，用弧度來衡量。

現在我們已經將波在空間中映射出來，讓我們改為設定 $x=0$ 並看看波如何隨時間變化

$y=a\ \sin(-2\pi ft+\alpha )$

振幅 $a$ 和相位 $\alpha$ 保持不變，但波長消失了，出現了一個新的量：$f$，它是頻率，即波上下移動的速度。頻率用時間倒數的單位來衡量：在固定的時間段內，波上下移動多少次？通常使用的單位是赫茲，或每秒。

現在讓我們將這兩幅圖結合起來，看看波是如何移動的。圖 3 是一個圖表，它顯示了當你在空間和時間中繪製波時的樣子。直線是簡單波達到最大值、最小值或零值（穿過 x 軸的地方）的地方。

我們可以透過觀察零點來確定波的相速度。相速度是指波的一部分移動的速度。我們可以將其視為波的速度，但對於更復雜的波來說，它只是其中一種速度——在後面的章節中會詳細介紹。

我們可以透過將我們的方程設定為零來得到零點的方程。

$0=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha$

$x=f\lambda t-{\frac {\alpha \lambda }{2\pi }}$

您可以看到這裡我們有一個直線方程，描述了一個以速度 $f\lambda$ 運動的點。這給了我們波的相速度方程，即

${\mbox{velocity}}={\mbox{frequency}}\times {\mbox{wavelength}}\quad v=f\lambda$

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