波/一維問題

波 : 一維波
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示例 - 問題 - 解決方案 - 術語

測量你的脈搏率。計算你的心跳的普通頻率（以每秒周次計）。計算角頻率（以每秒弧度計）。計算週期。
射電天文學中射電波的一個重要波長是 $21{\mbox{ cm}}$ 。（這來自中性氫。）計算該波的波數。計算普通頻率和角頻率。（光速為 3·10⁸ 米/秒）
繪製疊加波 $A=\sin(2x)$ 和 $B=\sin(3x)$ 所得的合成波。透過使用公式 (1.17) 中給出的三角恆等式，得到一個關於 $A+B$ 的公式，用 $\sin(5x/2)$ 和 $\cos(x/2)$ 表示。繪製此公式得到的波是否與你之前的繪製結果一致？
兩個波長分別為 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ 的正弦波疊加，形成長度為 $L$ 的波包。如果我們希望使 $L$ 更大，我們應該使 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ 更靠近還是更遠離？解釋你的推理。
透過觀察圖 1.9 與圖 1.10，然後觀察圖 1.11 與圖 1.12，確定公式 (1.18) 至少在一定程度上適用於孤立的波包。
音樂中音階的頻率由下式給出

f_{i}=f_{0}2^{i/12},\quad i=0,1,2,\ldots ,11,

(2.42)

其中

f_{0}

是一個常數，等於音階中最低音符的頻率。

1. 計算 $f_{1}$ 到 $f_{11}$ ，如果 $f_{0}=440{\mbox{ Hz}}$ （“A”音）。
2. 利用以上結果，求“A” ( $i=0$ ) 和 “B” ( $i=2$ ) 音符的拍頻是多少？（這裡給出的頻率是每秒的週期數，而不是每秒的弧度數。）
3. 上面哪一對頻率產生的拍頻最小？解釋你的推理。
一般來說，大型船舶無法比波長等於船舶長度兩倍的表面波的相速度更快。這是因為在這種情況下，大部分推進力用於製造大浪，而不是使船加速。
1. 一艘 $300{\mbox{ m}}$ 長的船在非常深的水中能達到多快的速度？
2. 當船駛入淺水區時，它的最大速度會增加還是減少？解釋一下。
給定本節中引用的光折射率公式，對於 $k$ 的哪個範圍，透明材料中的光相速度會超過真空中光速？
警察雷達的工作原理是將一束微波分成兩束，其中一束反射回你的汽車，然後與另一束以固定路徑傳播的微波發生干涉，如圖 1.19 所示。
1. 如果微波的波長為 $\lambda$ ，你必須駕駛汽車多遠才能使兩束光束之間的干涉從相長干涉變為相消干涉，然後再變為相長干涉？
2. 如果你以速度 $v=30{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-1}$ 朝雷達行駛，使用上述結果確定每秒出現的相長干涉峰的次數。假設 $\lambda =3{\mbox{ cm}}$ 。

圖 1.19：警察雷達示意圖。

圖 1.20：法布里-珀羅干涉儀示意圖。

假設你知道透過邁克爾遜干涉儀的光的波長，並且精度很高。描述如何使用干涉儀測量一小塊材料的長度。
法布里-珀羅干涉儀（見圖 1.20）由兩個平行放置的半鍍銀鏡組成，它們之間的距離為 $d$ ，如圖所示。穿過直線的射束與在兩個鏡面表面都反射一次的射束髮生干涉，如圖所示。對於波長 $\lambda$ ， $d$ 的哪些值會導致相長干涉？
法布里-珀羅干涉儀的玻璃板之間的間距為 $d=2{\mbox{ cm}}$ ，導致直接光束和雙反射光束髮生干涉（見圖 1.20）。當從板之間的間隙中抽氣時，光束經歷了 23 個相長-相消-相長干涉週期。如果幹涉光束的波長為 $5\times 10^{-7}{\mbox{ m}}$ ，確定干涉儀中最初空氣的折射率。
對某種波的測量表明，波的角頻率隨波數的變化如下表所示

1. 當 $k=3{\mbox{ m}}^{-1}$ 和 $k=4{\mbox{ m}}^{-1}$ 時，計算波的相速度。
2. 使用有限差分近似導數，估計 $k=3.5{\mbox{ m}}^{-1}$ 時的群速度。
假設某型別的波具有圖 1.21 所示的色散關係（這 admittedly 比較奇怪）。
1. 對於 $k$ 的哪些值，波的相速度為正？
2. 對於 $k$ 的哪些值，群速度為正？

圖 1.21：奇怪色散關係的示意圖。