波浪/波浪型別

波浪 : 一維波浪
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波浪型別

為了使上述內容更具體，我們現在將研究在現實世界中可能觀察到的各種型別波浪的特徵。

海面波浪

圖 1.3: 深度為 $H$ 的海洋上的波浪。波浪向右移動，水面上的水顆粒上下移動，如小垂直箭頭所示。顆粒向上移動，重力是“恢復”力。水波也是縱波，水顆粒向前移動，然後向後移動。恢復力更復雜，但涉及周圍水體質量的慣性。可以將水波視為疊加的橫波和縱波。淨粒子路徑幾乎是圓形的。這在沿著兩種物質（在本例中是水和空氣）邊界（介面）傳播的波浪中很常見。

這些波浪表現為圖 1.3 所示的海面起伏。海浪的速度由以下公式給出：

$v=\left({\frac {g\tanh(kH)}{k}}\right)^{1/2},$ (2.6)

其中 $g=9.8{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-2}$ 是一個與地球重力強度相關的常數，$H$ 是海洋的深度，雙曲正切定義為 2.7

$\tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.$ (2.7)

圖 1.4: 函式 $\tanh(x)$ 的影像。虛線顯示了我們的近似值 $\tanh(x)\approx x$，其中 $\vert x\vert <<1$.

如圖 1.4 所示，對於非常小的 x，我們可以用 $\tanh(x)\approx x$ 來近似雙曲正切，而對於非常大的 x，它對於正 x 為正 1，對於負 x 為負 1。這導致了兩個極限：由於 $x=kH$，因此，當 $kH<<1$ 時，淺水極限，波速為

$v\approx (gH)^{1/2},{\mbox{(淺水波浪)}},$ (2.8)

而當 $kH>>1$ 時，深水極限，

$v\approx (g/k)^{1/2},{\mbox{(深水波浪)}}.$ (2.9)

請注意，淺水波浪的速度僅取決於水深和 $g$。換句話說，所有淺水波浪以相同的速度移動。

另一方面，波長較長（因此波數較小）的深水波比波長較短的深水波傳播速度更快。波速隨波長變化的波稱為色散波。因此，深水波是色散的，而淺水波是非色散的。

對於波長為幾釐米或更小的水波，表面張力對波的動力學變得重要。在深水情況下，短波長的波速實際上由以下公式給出：

$c=(g/k+Ak)^{1/2}$ (2.10)

其中常數 $A$ 與表面張力有關，並取決於所涉及的表面。對於室溫附近的空氣-水介面，$A\approx 74{\mbox{ cm}}^{3}{\mbox{ s}}^{-2}$.

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