波/導數

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數學教程 - 導數

圖 1.15: 導數的估計，即切線的斜率。當點 B 接近點 A 時，線 AB 的斜率接近曲線在點 A 處的切線的斜率。

本節簡要介紹導數的概念。有關微分和微積分的更詳細的討論和探索，請參見微積分和微分。

我們經常對函式 $y(x)$ 在某個 $x$ 值處的切線的斜率感興趣。這個斜率被稱為導數，用 $dy/dx$ 表示。由於函式的切線可以在任何點 $x$ 定義，因此導數本身是 $x$ 的函式

$g(x)={\frac {dy(x)}{dx}}.$ (2.25)

如圖 1.15 所示，函式上某一點的切線的斜率可以近似為連線曲線上的兩個點 A 和 B 的直線的斜率，這兩個點之間的距離是有限的。

${\frac {dy}{dx}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$ (2.26)

當 B 更接近 A 時，近似值變得更好。當 B 無限接近 A 時，它就變得精確。

導數表

現在給出一些常見函式的導數。在每種情況下，$c$ 是一個常數。

導數表
${d \over dx}c=0$
${d \over dx}x=1$
${d \over dx}cx=c$
${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$
${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}$	其中，xc 和 cxc−1 都已定義。
${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$
${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$
${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}}$	x > 0
${d \over dx}e^{x}=e^{x}$
${d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c}$	c > 0, c ≠ 1
${d \over dx}\ln x={1 \over x}$
${d \over dx}\sin x=\cos x$
${d \over dx}\cos x=-\sin x$
${d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x$
${d \over dx}\sec x=\tan x\sec x$
${d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x$
${d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x$
${d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
${d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
${d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}$
$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2}}$
${d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}$
${d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${d \over dx}\sinh x=\cosh x$
${d \over dx}\cosh x=\sinh x$
${d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}x$
${d \over dx}\operatorname {sech} x=-\tanh x\operatorname {sech} x$
${d \over dx}\operatorname {coth} x=-\operatorname {csch} ^{2}x$
${d \over dx}\operatorname {csch} x=-\operatorname {coth} x\operatorname {csch} x$
${d \over dx}\operatorname {arsinh} x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
${d \over dx}\operatorname {arcosh} x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$
${d \over dx}\operatorname {artanh} x={1 \over 1-x^{2}}$
${d \over dx}\operatorname {arsech} x={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${d \over dx}\operatorname {arcoth} x={1 \over 1-x^{2}}$
${d \over dx}\operatorname {arcsch} x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

使用乘積法則和鏈式法則可以計算複雜函式的導數。例如，

${\frac {d}{dx}}(\sin(x)\cos(x))={\frac {d\sin(x)}{dx}}\cos(x)+\sin(x){\frac {d\cos(x)}{dx}}=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)$

以及

${\frac {d}{dx}}\log(\sin(x))={\frac {1}{\sin(x)}}{\frac {d\sin(x)}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}.$

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