波/疊加

波 : 一維波
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疊加原理

經驗表明，只要大多數介質中波的振幅足夠小，兩個在同一物理位置的波就不會相互作用。因此，例如，兩個向相反方向傳播的波簡單地穿過彼此，而不會改變它們形狀或振幅。當疊加時，總波位移只是各個波位移的總和。這被稱為疊加原理。在足夠大的振幅下，疊加原理通常會失效——相互作用的波可能會互相散射、失去振幅或改變形狀。

干涉是疊加原理的結果。當兩個或多個波疊加時，淨波位移只是各個波位移的代數和。由於這些位移可以是正或負的，因此淨位移可以大於或小於各個波位移。前者稱為相長干涉，而後者稱為相消干涉。

Figure 1.5: Superposition of two sine waves

圖 1.5: 兩個正弦波（分別顯示在上圖中）的疊加（下圖），具有相同的振幅和波數

k_{1}=4

和

k_{2}=5

讓我們看看當我們將兩個波數不同的正弦波疊加時會發生什麼。圖 1.5 顯示了波數為 $k_{1}=4$ 和 $k_{2}=5$ 的兩個波的疊加。請注意，結果是一個波，其波長與兩個初始波的波長大致相同，但振幅會根據兩個正弦波是同相還是反相而變化。當波處於同相時，會發生相長干涉，而當波處於反相時，會發生相消干涉。

圖 1.6: 兩個正弦波的疊加
圖 1.6: 兩個正弦波的疊加，具有相同的振幅和波數

k_{1}=10

和

k_{2}=11

當兩個正弦波的波數改變時會發生什麼？圖 1.6 顯示了 $k_{1}=10$ 和 $k_{2}=11$ 時的情況。請注意，雖然結果波的波長減小了，但振幅最大的位置在 $x$ 上的間隔與圖 1.5 中相同。

Figure 1.7: Superposition of two sine waves

圖 1.7: 兩個正弦波的疊加，具有相同的振幅和波數

k_{1}=10

和

k_{2}=12

.

如果我們將波疊加，其中 $k_{1}=10$ 和 $k_{2}=12$ ，如圖 1.7 所示，我們會看到最大振幅區域的 $x$ 間距減少了一半。因此，雖然合成波的波數似乎與分量波的波數的平均值有關，但最大波幅區域之間的間距似乎與分量波的波數差值成反比。換句話說，如果 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 彼此接近，則振幅最大值相距很遠，反之亦然。

Figure 1.8: Representation of the wavenumbers and amplitudes of two superimposed sine waves.

圖 1.8：兩個疊加正弦波的波數和振幅的表示。

我們可以用類似圖 1.8 所示的圖來符號表示構成圖 1.5、1.6 和 1.7 的正弦波。圖中用垂直線表示每個正弦波的振幅和波數。

波幅較大的區域稱為波包。波包將在隨後的內容中發揮核心作用，因此我們必須對它們有很好的理解。僅由兩個正弦波產生的波包在 $x$ 軸上沒有很好地分離。但是，如果我們疊加許多波，我們可以產生一個孤立的波包。例如，圖 1.9 顯示了疊加 $20$ 個波數為 $k=0.4m$ ， $m=1,2,\ldots ,20$ 的正弦波的結果，其中波的振幅在波數接近 $k=4$ 時最大。

Figure 1.9: Superposition of twenty sine waves

圖 1.9：疊加 20 個波數為

k_{0}=4

和

\Delta k=1

的正弦波。

特別是，我們假設每個正弦波的振幅與 $\exp[-(k-k_{0})^{2}/\Delta k^{2}]$ 成正比，其中 $k_{0}=4$ 和 $\Delta k=1$ 。構成圖 1.9 中波包的每個正弦波的振幅在圖 1.10 中以示意圖形式表示。

Figure 1.10: Superposition of twenty sine waves

圖 1.10：表示 20 個疊加正弦波的波數和振幅，其中

k_{0}=4

和

\Delta k=1

。

量 $\Delta k$ 控制著疊加正弦波的分佈——只有波數在中心波數 $k_{0}$ 附近大約 $\Delta k$ 範圍內的那些波，即在這個例子中 $3\leq k\leq 5$ ，對總和有顯著貢獻。如果 $\Delta k$ 改變為 $2$ ，使得 $2\leq k\leq 6$ 範圍內的波數對總和有顯著貢獻，波包會變得更窄，如圖 1.11 和 1.12 所示。

Figure 1.11: Superposition of twenty sine waves

圖 1.11：二十個正弦波的疊加，其中

k_{0}=4

且

\Delta k=2

。

Figure 1.12: Superposition of twenty sine waves

圖 1.12：表示 20 個疊加的正弦波的波數和振幅，其中

k_{0}=4

且

\Delta k=2

。

$\Delta k$ 被稱為波包的波數擴充套件，它顯然起著類似於兩個正弦波疊加中波數差的作用——波數擴充套件越大，波包的物理尺寸越小。此外，波包內振盪的波數近似等於中心波數。

透過數學分析兩個正弦波疊加的簡單情況，我們可以更好地理解波包是如何工作的。讓我們定義 $k_{0}=(k_{1}+k_{2})/2$ ，其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 是組成波的波數。此外，讓我們設定 $\Delta k=(k_{2}-k_{1})/2$ 。圖 1.8 圖示了 $k_{0}$ 和 $\Delta k$ 。我們可以寫 $k_{1}=k_{0}-\Delta k$ 和 $k_{2}=k_{0}+\Delta k$ ，並使用三角恆等式 $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ 來找到 $\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)=\sin[(k_{0}-\Delta k)x]+\sin[(k_{0}+\Delta k)x]$ $=\sin(k_{0}x)\cos(\Delta kx)-\cos(k_{0}x)\sin(\Delta kx)+$ $\sin(k_{0}x)\cos(\Delta kx)+\cos(k_{0}x)\sin(\Delta kx)=2\sin(k_{0}x)\cos(\Delta kx).$ (2.17)