波/群速度

波 : 一維波
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群速度

我們現在提出以下問題：波包以多快的速度移動？令人驚訝的是，我們經常發現波包的移動速度與組成波包的波的相速度$c=\omega /k$大不相同。

我們將會發現，波包的運動速度，被稱為群速度，由以下公式給出

$u=\ 0.1{\mbox{m}}^{-1}$。深海波的相速度為$c=(g/k)^{1/2}$。然而，由於$c\equiv \omega /k$，我們發現深海波的頻率為$\omega =(gk)^{1/2}$。因此群速度為$u\equiv d\omega /dk=(g/k)^{1/2}/2=c/2$。對於指定的中心波數，我們發現$u\approx (9.8{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-2}/0.1{\mbox{ m}}^{-1})^{1/2}/2\approx 5{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-1}$。相比之下，具有此波長的深海波的相速度為$c\approx 10{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}^{-1}$。

色散波是指相速度隨波數變化的波。很容易證明色散波的相速度和群速度不相等，而非色散波的這兩種速度相等。

群速度公式的推導

我們現在推匯出公式 (1.36)。對於最簡單的波包，即由僅兩個正弦波疊加構成的波包，推導起來最容易。我們將透過新增兩個具有完整空間和時間依賴性的波來進行

$A=\sin(k_{1}x-\omega _{1}t)+\sin(k_{2}x-\omega _{2}t)$ (2.37)

經過熟悉的代數和三角運算，我們發現

$A=2\sin(k_{0}x-\omega _{0}t)\cos(\Delta kx-\Delta \omega t),$ (2.38)

與之前我們有 $k_{0}=(k_{1}+k_{2})/2$，$\omega _{0}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$，$\Delta k=(k_{2}-k_{1})/2$，以及$\Delta \omega =(\omega _{2}-\omega _{1})/2$。再次將其視為一個頻率為 $\omega _{0}$ 和波數為 $k_{0}$ 的正弦波，由余弦函式調製。在這種情況下，調製模式以一定的速度移動，以保持餘弦函式的自變數不變。

$\Delta kx-\Delta \omega t=const.$ (2.39)

將此式關於 $t$ 微分，同時保持 $\Delta k$ 和 $\Delta \omega$ 為常數，得到

$u\equiv {\frac {dx}{dt}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}.$ (2.40)

當增量變得非常小時，此式簡化為導數

$u={\frac {d\omega }{dk}},$ (2.41)

這就是我們想要的結果。

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