波/傅立葉變換

波 : 一維波
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傅立葉變換

到目前為止，您已經學習瞭如何疊加有限數量的正弦波。然而，一般的波不能表示為有限數量的正弦和餘弦的和。幸運的是，我們有一個定理叫做傅立葉定理，它基本上說明，在某些技術假設下，任何函式f(x)等於正弦和餘弦的積分。換句話說，

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }(c_{1}(k)\cos(kx)+c_{2}(k)\sin(kx))dk$.

現在，如果我們給出當t=0時的波函式φ(x,0)以及每個正弦波的速度作為其波數的函式v(k)，那麼我們可以透過對φ(x,0)進行傅立葉逆變換，進行相位移，然後進行傅立葉變換來計算任何t的φ(x,t)。

幸運的是，傅立葉逆變換與傅立葉變換本身非常相似。

$c_{1}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(kx)\,dx\quad c_{2}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\sin(kx)\,dx$

這告訴我們，由於非常分散的波（如正弦波）具有狹窄的波數範圍，因此波數非常分散的波函式僅在狹窄的位置範圍內顯著。

傅立葉變換的性質

	訊號	傅立葉變換 酉，角頻率	傅立葉變換 酉，普通頻率	備註
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,$
1	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	線性
2	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	時域平移
3	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	頻域平移，2 的對偶
4	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	如果 $|a|\,$ 很大，那麼 $g(at)\,$ 集中在 0 附近，而 ${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$ 會擴充套件並變平
5	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	傅立葉變換的對偶性。結果來自交換 $t\,$ 和 $\omega \,$ 的“啞”變數。
6	${\frac {d^{n}g(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$	傅立葉變換的廣義導數性質
7	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}G(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}G(f)}{df^{n}}}\,$	這是 6 的對偶
8	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$ 表示 $g\,$ 和 $h\,$ 的卷積 - 這個規則是卷積定理
9	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	這是 8 的對偶
10	對於一個純實偶函式 $g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是一個純實偶函式	$G(f)\,$ 是一個純實偶函式
11	對於一個純實奇函式 $g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是一個純虛奇函式	$G(f)\,$ 是一個純虛奇函式

傅立葉變換對

	時域	頻域
	$x(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}$	$X(\omega )={\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$
1	$X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$	$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$
2	$1\,$	$2\pi \delta (\omega )\,$
3	$-0.5+u(t)\,$	${\frac {1}{j\omega }}\,$
4	$\delta (t)\,$	$1\,$
5	$\delta (t-c)\,$	$e^{-j\omega c}\,$
6	$u(t)\,$	$\pi \delta (\omega )+{\frac {1}{j\omega }}\,$
7	$e^{-bt}u(t)\,(b>0)$	${\frac {1}{j\omega +b}}\,$
8	$\cos \omega _{0}t\,$	$\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})+\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
9	$\cos(\omega _{0}t+\theta )\,$	$\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})+e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
10	$\sin \omega _{0}t\,$	$j\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})-\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
11	$\sin(\omega _{0}t+\theta )\,$	$j\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})-e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
12	${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau \omega }{2\pi }}\right)\,$
13	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau t}{2\pi }}\right)\,$	$2\pi {\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
14	$\left(1-{\frac {2|t|}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau \omega }{4\pi }}\right)\,$
15	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau t}{4\pi }}\right)\,$	$2\pi \left(1-{\frac {2|\omega |}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
16	$e^{-a|t|},\Re \{a\}>0\,$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}\,$
說明	${\mbox{sinc}}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)$ 是寬度為 $\tau$ 的矩形脈衝函式。 $u(t)$ 是海維賽德階躍函式。 $\delta (t)$ 是狄拉克δ函式。

進一步閱讀

• 工程分析/多維傅立葉級數
• 費曼講義第50章 諧波。

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