A-level 物理/宇宙學/相對論

時間膨脹

思想實驗
想象兩節玻璃火車車廂在平行鐵軌上行駛，每節車廂都有一面鏡子沿其全長面對另一節火車車廂。每節火車車廂上都有一位觀察者。火車車廂以接近光速的速度朝相反方向行駛。一位觀察者向另一節火車車廂傳送一束光脈衝，光脈衝垂直於其運動方向。這束光脈衝在兩面鏡子之間反覆反射。

圖表的第一個部分代表了傳送光脈衝的觀察者所看到的 - 光線在直線上來回反射。然而，另一位觀察者看到光線以“之字形”模式移動。這是因為他正在遠離傳送的光線，因此在每次後續反射後，光線都必須傳播更遠。

另一個關於時間膨脹的實驗是用μ介子進行的，μ介子是質量極小的粒子，衰變速度非常快，幾乎消失。當這些粒子被加速（透過粒子加速器）時，它們的壽命顯著增加，這表明時間已經減慢。

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引力時間膨脹是阿爾伯特·愛因斯坦的相對論及其相關理論的結果，根據這些理論，處於不同引力勢能的時鐘以不同的速率滴答作響。

引力時間膨脹最初由阿爾伯特·愛因斯坦在 1907 年描述，是狹義相對論在加速參考系中的一種結果。在廣義相對論中，它被認為是時間本身在不同位置的流逝速度差異，如時空度規張量所描述的那樣。引力時間膨脹的存在首先透過龐德-雷布卡實驗直接得到證實。

定義

讀者可能需要了解的背景知識：什麼是引力場？什麼是時間膨脹？什麼是時空？讀者還可以研究引力紅移或普通紅移。

引力時間膨脹可以透過大型質量的存在來體現，質量越大，時間膨脹越大。用更簡單的話說，這意味著遠離大質量體的觀察者是擁有快時鐘的遠距離觀察者，而靠近大質量體的觀察者是時間膨脹的觀察者，擁有慢時鐘。

它還可以透過任何其他型別的加速參考系來體現，例如一輛賽車或太空梭。旋轉的物體，例如旋轉木馬和摩天輪，由於其角自旋的影響而受到引力時間膨脹的影響。

這得到了廣義相對論的支援，因為等效原理指出所有加速參考系都擁有引力場。根據廣義相對論，慣性質量和引力質量是相同的。並非所有引力場都是“彎曲”或“球形”的，有些是平坦的，就像一輛加速的賽車或太空梭一樣。任何型別的重力載荷都會導致引力時間膨脹。

• 在一個加速的盒子裡，關於任意基底觀察者的方程是 $T_{d}=1-gh/c^{2}$，其中
  • $T_{d}$ 是遠距離位置處的總時間膨脹，
  • $g$ 是基底觀察者測量的盒子加速度，以及
  • $h$ 是觀察者之間的“垂直”距離。
• 在一個旋轉的圓盤上，當基底觀察者位於圓盤中心並與其同向旋轉時（這使得他們對時空的看法是非慣性的），方程是 $T_{d}={\sqrt {1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2}}}$，其中
  • $r$ 是圓盤中心（基底觀察者所在的位置）的距離，以及
  • $\omega$ 是圓盤的角速度。

（這並非偶然，在慣性參考系中，它變成了我們熟悉的速率時間膨脹 ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$）。

一個常用的用來確定引力時間膨脹的方程是使用施瓦西解，它描述了非旋轉大質量物體附近時空。球對稱物體的施瓦西解的時間膨脹為

$t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}$，其中

• $t_{0}$ 是處於引力場中的慢速時鐘觀察者在事件 A 和 B 之間的固有時，
• $t_{f}$ 是一個遠離大質量物體（因此位於引力場之外）的快速計時觀察者在事件 A 和 B 之間的固有時間，
• $G$ 是萬有引力常數，
• $M$ 是產生引力場的物體的質量，
• $r$ 是觀察者的徑向座標（類似於物體中心的經典距離，但實際上是史瓦西座標），以及
• $c$ 是光速。

$2GM/c^{2}$ 被稱為 M 的史瓦西半徑。如果一個物體坍縮到其表面位於該徑向座標以下（或者換句話說，覆蓋的面積小於 $16\pi G^{2}M^{2}/c^{4}$），那麼該物體將存在於黑洞中。

後果

如果一個漂浮在深空的衛星以每秒 n 次的頻率發射雷射，而地球上的觀察者看到這個訊號發生了藍移，頻率更高，達到每秒 n+1 次，那麼這種情況下，唯一可能持續下去的明顯方式（訊號在接收裝置上記錄的速度比發射裝置發射的速度快，而且持續不斷）是，由於它們不同的引力環境，這兩套裝置的工作方式不同。

需要強調的重要事項

• 根據廣義相對論，引力時間膨脹與加速參考系的存在並存。
• 一個地方的光速始終等於 c，這一點是根據在那裡觀察者的觀點得出的。靜止觀察者的觀點對應於區域性固有時間。空間時間的每一個無窮小區域可能都有自己的固有時間，對應於那裡的引力時間膨脹，其中電磁輻射和物質可能受到同樣的影響，因為它們是由相同的本質構成的（正如許多涉及著名方程 $E=mc^{2}$）的實驗所表明的那樣。這些區域無論是否被觀察者佔據，都具有重要意義。對於那些靠近太陽、指向金星並沿或多或少類似的路徑反彈回地球的彎曲訊號來說，時間延遲是可以測量的。從這種意義上說，並沒有違反光速，只要觀察者被迫觀察那些與觀察能力相交的光子，而不會觀察那些在更大的（甚至更小的）引力時間膨脹的深處經過的光子。

如果一個遙遠的觀察者能夠跟蹤遙遠地方的光，這些光與更靠近更大質量物體的時間膨脹的觀察者相交（暫且不考慮光子不能在不與觀察者相交的情況下被觀察到的事實），他看到遙遠的光和那個遙遠的、時間膨脹的觀察者比那些靠近他、與他相交、以 c 速度移動的所有其他光具有更慢的固有時間時鐘。當另一個遙遠的光與遙遠的觀察者相交時，它將以 c 速度從遙遠的觀察者的角度傳來。

實驗驗證

引力時間膨脹已透過使用飛機上的原子鐘進行實驗測量。那些搭載在飛機上返回的時鐘與地面上的時鐘相比，稍微快一些。這種效應相當顯著，以至於全球定位系統需要校正其對人造衛星上時鐘的影響，這進一步證明了這種效應。

引力時間膨脹還透過龐德-雷布卡實驗和對白矮星天狼星 B 光譜的觀測得到證實。

參考文獻

• 愛因斯坦，阿爾伯特。“相對論：阿爾伯特·愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論。”古騰堡計劃。<http://www.gutenberg.org/etext/5001.>
• 愛因斯坦，阿爾伯特。“引力對光的影響”（1911 年），翻譯並轉載於相對論原理
• Nave, C.R. “引力和光子”。超物理。<http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/blahol.html#c2.>
• 龐德-雷布卡-斯奈德實驗