A 級物理/力、場和能量/電容器

介紹
當兩種導電材料被絕緣材料隔開時，它們將表現為具有與法拉（庫侖/伏特）單位相關的電容的電容器。

直觀地，電容可以解釋為“如果我施加一定電壓，我可以將多少電荷塞入材料？”
電容器很有用，因為它們可以暫時儲存能量並在以後釋放能量，並且與電阻器結合使用，它們能夠“延遲”訊號。

電容/電容器的定義

電容器通常由兩片金屬片製成，金屬片之間由絕緣材料（如空氣或陶瓷）隔開。如果我們在兩片金屬片之間施加電壓，將會產生相關的電場，電荷將累積在兩片金屬片的每一側。我們將電容 ($C$) 定義為 $C={\frac {Q}{V}}$ 其中 Q 是當施加電壓 V 時累積在板上的電荷。這可以直觀地得出結論。一個質量極高的電容器將能夠在施加最小電壓的情況下累積最大電荷量。電容的單位是法拉，簡稱 F。

電容的另一個定義是板的面積乘以介電常數，除以兩片金屬片到絕緣材料的距離。換句話說，$C={\frac {\epsilon A}{D}}$。這在直覺上是有道理的 - 如果我們將板做得更大，我們就可以儲存更多電荷，如果我們將板靠得更近，電荷吸引的趨勢就會增加，從而增加產生的電場。此外，由於電容器的性質，隨著介電常數（兩片金屬片之間的介質）限制電場的能力（介電常數）增加，電容也會增加。

現在，這並不意味著電容是一種只出現在兩片金屬片上的屬性。事實上，任何一段電線或金屬都會與之具有小的但非零的電容。計算這些電容，並利用它們或採取必要措施來抵消它們，在電氣電路工程中至關重要。

並聯和串聯的電容器

讓我們找出串聯和並聯電容器的等效電容。

並聯電容器

圖 3：並聯電容器

兩個並聯連線的電容器的電容相加，即

$C_{equivalent}=C_{1}+C_{2}$

不太嚴格的證明

當兩個電容器並聯連線時，電容器的端子將具有相同的電壓。因此，如果我們將並聯的電容器用一些等效電容器交換，它應該具有與並聯電容器中的任何一個相同的電壓降。如果我們計算並聯電容器上累積的電荷，它們將加起來（如果一個電容器累積了Q1個電荷，另一個電容器累積了Q2個電荷，那麼累積的等效電荷為Q1+Q2）。這意味著等效電容器中的電荷是累積電荷的總和... 意味著

$Q_{equivalent}=Q_{1}+Q_{2}...$

$V_{equivalent}=V_{1}=V_{2}$ 它們都相等，所以我們把它稱為“V”。

所以，

${\frac {Q_{equivalent}}{V_{equivalent}}}={\frac {Q_{1}+Q_{2}}{V}}$

${\frac {Q_{equivalent}}{V_{equivalent}}}={\frac {Q_{1}}{V_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{V_{2}}}$

因此，

$C_{equivalent}=C_{1}+C_{2}$

...我們可以將此推廣到兩個以上的電容器 - 只需不斷新增每個電容器的有效電容。 因此，對於五個電容器，總電容將為

$C_{equivalent}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}+C_{5}$

串聯電容器

圖 4：串聯電容器

電容的倒數對於串聯連線的電容器，加起來，即

${\frac {1}{C_{equivalent}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}...$

(再次）非嚴格證明

這與並聯電路完全相反。

首先，電壓降必須加起來（例如，如果兩個串聯電容器 C1 和 C2 的電壓降分別為 3V 和 1V，則等效電容器的電壓降必須為 4V）。

但是電荷呢？等效電容器中的電荷必須保持不變。 為了說明這一點，假設兩個電容器 C1 和 C2 串聯連線。 然後，如果電荷 Q 累積在 C1 的一個極板上，那麼電荷 -Q 將累積在另一個極板上。 電荷守恆定律規定 '-Q' 必須來自某個地方。 這個 '某個地方' 是 C2 的頂板。

因此，C2 的頂板失去 '-Q' 電荷，這本質上意味著 C2 累積了 'Q' 電荷。 然後，C2 的另一側將帶有電荷 '-Q'。 因此，如果我們從整體上看待該系統，則 C1 頂部累積的電荷大小等於 C2 底部的電荷大小）...

簡而言之，

$V_{equivalent}=V_{1}+V_{2}$

$Q_{equivalent}=Q_{1}=Q_{2}$ 它們都相等，因此我們稱其為“Q”。

所以，

${\frac {V_{equivalent}}{Q_{equivalent}}}={\frac {V_{1}+V_{2}}{Q}}$

${\frac {V_{equivalent}}{Q_{equivalent}}}={\frac {V_{1}}{Q_{1}}}+{\frac {V_{2}}{Q_{2}}}$

因此，

${\frac {1}{C_{equivalent}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}$

再次，我們可以將此規則推廣到兩個以上的電容器 - 只需新增倒數！

電容器作為儲能元件

電容器可以被認為是一種透過在其兩端施加電壓來將能量儲存在電場中的裝置。 如果我們計算電容為C的電容器在施加電壓V時儲存的能量（E），我們會發現
$E={\frac {CV^{2}}{2}}(J)$
（順便說一句，它的磁性模擬被稱為電感器，它具有驚人相似的特性和驚人相似的方程。）

非嚴格證明

電氣元件的功率損耗定義為 P=v i，其中 v=電壓，i=電流。 電流是電荷隨時間的變化，或 dQ/dt。
我們定義 C=Q/V，所以 Q=CV。 由於 C 是常數，所以 i = dQ/dt = C dV/dt。
將此代入功率方程，我們得到

$P=CV{\frac {dV}{dt}}$

因為功率是能量變化率（P=dW/dt），為了找到功W，我們必須對時間進行積分。 這將得到

$W=\int Pdt=\int CV{\frac {dV}{dt}}dt$

雖然數學家會對我現在要說的內容感到憤怒，但這通常適用於大多數情況。 如果我們將導數視為分數，那麼我們注意到“dt”將會抵消，得到

$W=\int Pdt=\int CVdV$

這將得到

$W={\frac {CV^{2}}{2}}$

… 這是在電容器上施加電壓V時儲存電荷所需的功，也就是當我們施加電壓V時電容器中儲存的能量。

帶電阻的電容器（RC 電路）

當我們有一個帶電阻和電容器的電路時，我們稱之為 RC 電路，這種電路在任何電子系統中都非常常見。 它可以用來延遲訊號或濾除不需要的訊號。

推導

讓我們考慮一個電阻為R的電阻與電容為C的電容器和電壓為$-V_{source}$的電壓源串聯連線的電路。 假設電容器在時間=0時具有電勢差$V_{0}$

如果我們對這個電路應用基爾霍夫電壓定律，我們將得到以下結果

$-V_{source}+iR+V_{capacitor}=0$

我們知道流過電阻的電流與流過電容器的電流相同。 由於電容器的Q=CV，電流i為${\frac {dQ}{dt}}=CV_{capacitor}'$。 替換i，我們得到

$-V_{source}+CV_{capacitor}'R+V_{capacitor}=0$

新增$V_{source}$併除以RC得到

$V_{capacitor}'+{\frac {V_{capacitor}}{RC}}={\frac {V_{source}}{RC}}$

這是一個一階微分方程。 解決這個方程式，我們得到

$V_{capacitor}=Ae^{-{\frac {t}{RC}}}+B$

如果我們對其求導，我們將得到

$V'_{capacitor}={\frac {-A}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}$

當t趨於無窮大時，得到

$V'_{capacitor}=0$

$V_{capacitor}=0+B$

如果我們將此代入上面提到的微分方程，我們將得到

$0+{\frac {B}{RC}}={\frac {V_{source}}{RC}}$

因此，$B=V_{source}$

現在，將我們為時間=0 找到的 V(capacitor) 方程代入以求得

$V_{0}=A+V_{source}$

這給了我們$V_{0}-V_{source}=A$。組合起來，我們得到

$V_{capacitor}=(V_{0}-V_{source})e^{-{\frac {t}{RC}}}+V_{source}$

我們將$\tau =RC$稱為 RC 電路的“時間常數”。它是一個量級，指示電路電壓下降或上升的速度。較大的 T 意味著兩種狀態之間的過渡時間更長。

$V_{capacitor}=(V_{0}-V_{source})e^{-{\frac {t}{\tau }}}+V_{source};\tau =RC$

方程的解釋

在 t=0 時，我們可以看到電容器的電壓等於其初始條件。我們還可以注意到，隨著時間趨於無窮大，指數項越來越小，這給了我們電源電壓。該函式的性質不允許不連續性，這意味著該函式正在從 V(0) 平滑地過渡到 V(source)。有多快？只需要求導。

透過這種解釋，RC 電路是一種“以指數方式使電壓水平從一個水平平滑過渡到另一個水平的電路”。

時間常數

$\tau$稱為 RC 電路的“時間常數”。它是一個量級，指示電路電壓下降或上升的速度。較大的 T 意味著兩種狀態之間的過渡時間更長。

時間常數的實際應用

RC 電路主要用於建立延遲和濾波器。

延遲

假設您要製作一個開關，使用者必須按下按鈕超過三秒鐘才能啟動。假設該裝置連線到一些其他機械，這些機械將任何高於 4.5V 的電壓視為“ON”。另外假設您有一個 5V 電壓源。僅憑這些資訊，您就能構建一個具有適當時間常數的 RC 電路來實現這種效果。如果我們假設電容器最初是放電的 (Vc(0)=0V)，那麼這僅僅是一個代數運算的問題。

濾波器

記住，較高的 RC 意味著更平滑的過渡。如果電壓源在變化（例如來自麥克風的訊號），那麼會發生什麼？

從波浪中我們知道，低音具有低頻率。低頻率意味著從一個值變化到另一個值需要更多時間。與之相反的是高頻率，它以更快的速度改變其值。如果我們的 RC 項非常高，那麼 RC 電路將無法“跟上”高頻率的快速變化。這意味著電路將比高頻訊號更好地透過低頻訊號。

這種 RC 電路的應用被稱為*低通濾波器*，它在訊號處理中有著重要的應用。