A-level 物理/力和運動/運動學

運動學是研究物體運動方式的學科。它專注於描述物體的運動，而不解釋力如何影響它。

距離和位移

雖然所走的距離是 25 米，但位移是綠色的箭頭所示方向上的 10 米。

你可能已經熟悉了距離這個詞，因為兩點之間的距離是物體在這兩點之間所走路徑的長度。

距離是一個標量，所以如果你向北走 10 米，然後向南走 10 米，你將走過 20 米的距離。

位移，然而，是一個向量量。從某種意義上說，位移僅僅是兩點之間最短的距離。如果一個物體在經過一段距離後最終回到了它的初始位置，我們說該物體的位移為 0，所以上面的例子將給你一個 0 米的總位移。

在右邊的圖中，如果所走的距離為 25 米，那麼位移將為 10 米。你可以透過測量起點和終點之間的直線長度來找到位移。

如果一個測量值具有指定的方向，則它是一個位移，否則它是一個距離。

距離的符號是d，位移的符號是s或x。注意不要將s與位移混淆，因為s也代表秒。

速度和速度

物體的速度是它在單位時間內移動的距離。

如果你知道物體移動的距離和它移動這段距離所花費的時間，你就可以找到物體的速度。

$average\ speed={\frac {distance\ moved}{time\ taken}}$，或 $s={\frac {d}{t}}$。

速度是一個向量，與距離和位移之間的區別類似，速度是在指定方向上的速度。

一輛汽車可以以恆定速度移動，但速度卻在變化。這種情況發生在汽車轉彎時。想象一輛賽車以 20 米/秒的速度沿賽道行駛。如果這個方向被認為是正方向，那麼汽車的速度也是 20 米/秒。現在，如果汽車要轉入一個“U”形彎，它的速度就會改變。當汽車垂直於第一條直線時，汽車的速度仍然是 20 米/秒，但它的速度現在將是 0 米/秒。當汽車完成轉彎並返回起點時，速度仍然是 20 米/秒，但速度是 -20 米/秒，因為汽車現在正在相反的方向移動。

速度的符號是s，速度的符號是v。注意不要將s與速度混淆，因為s也代表位移或秒。

加速度

加速度是速度變化率。換句話說，加速度是物體在單位時間內速度變化的量。

如果你知道速度的變化量和變化所花費的時間，你可以使用以下公式找到加速度。

$acceleration={\frac {change\ in\ velocity}{time\ taken\ for\ change}}$，或 $a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$。

或者，如果你有初始速度和最終速度，你可以使用以下公式：

$a={\frac {v-u}{\Delta t}}$，其中 $u$ 是初速度，而 $v$ 是末速度。

$\Delta$（Delta）表示“變化”。

加速度是一個向量，它可以使物體減速，也可以使物體加速。當物體的加速度與其速度方向相反時，物體就會減速。此時，物體正在 **減速**。

如果物體改變了方向，也可以說它正在加速。在上面的例子中，汽車透過轉彎改變了它的速度。由於加速度是速度變化的速率，因此汽車正在加速。

加速度的單位是米每秒平方，或 $m/s^{2}$。如果一個物體的加速度為 $10m/s^{2}$，這意味著它的速度每秒增加 $10m/s$。

測量速度和加速度

光電門

光電門有一個紅外發射器和接收器，安裝在堅固的鋼製外殼中，可以避免任何錯位問題。光電門可用於研究自由落體、氣墊導軌和斜面實驗。

記時紙帶計時器

記時紙帶計時器用於測量速度、加速度和一般計時。它的頻率為 50 到 60 Hz（根據型別而有所不同），相當於市電的頻率。如果從 12V 交流電源執行，它將給出良好的結果。計時器使用一個電磁體，它會啟用一個擊打器，透過記時紙帶上的碳盤產生點。在 50 Hz 時，每個點將代表 0.02 秒。而在 60 Hz 時，一個點代表 0.01 秒。

加速度計

該裝置用於測量加速度，單位為米每秒平方 (m/s²)。

運動方程

從位置、速度和加速度的定義，可以推匯出這三個向量之間的關係。

• ${\vec {v_{f}}}={\vec {v_{i}}}+{\vec {a}}\Delta t\$
• $\Delta {\vec {s}}={\vec {v_{i}}}\Delta t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}(\Delta t)^{2}$
• ${\vec {v_{f}}}^{2}={\vec {v_{i}}}^{2}+2{\vec {a}}\Delta s\$

其中 ${\vec {a}}$ 是方向與速度一致的加速度，${\vec {s}}$ 是位移，$t$ 是時間，${\vec {v_{i}}}$ 是初速度，${\vec {v_{f}}}$ 是末速度。注意，這些公式僅在物體具有 **恆定加速度** 且運動方向為 **線性** 時才有效。

使用這些公式

一輛汽車從靜止開始以 5m/s² 的加速度勻速加速。它在 5 秒後的速度是多少？首先，我們從上面的問題中收集資料：加速度 [a]= 5m/s² 時間[∆t]= 0m/s² 初始速度[u]= 0m/s 末速度[v]=? 使用收集到的資料，我們用這個公式：v=u+a∆t 然後我們將資料代入公式：v=0m/s² + (5m/s²×10s) v=0m/s² + 25m/s v=25m/s 這輛汽車從開始行駛 5 秒後，速度達到 25m/s。

推導公式

如上所述，運動方程是從

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}},{\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$.

推導 $\Delta s=v_{avg}\times \Delta t$

表示式 ${\frac {v_{i}+v_{f}}{2}}$ 是時間段內的平均速度。這僅線上性情況下才允許；非線性運動學需要使用微積分。因為平均速度考慮了線性變化過程中速度的變化，所以總行程就是時間段內的速度乘以時間。

推導 s = ut + 1/2 a(Δt)²

這個公式是從公式 $v=u+a\Delta t\$ 和 $\Delta s={\frac {(u+v)}{2}}\cdot \Delta t$ 推匯出來的。

將 $v=u+a\Delta t\$ 代入公式 $\Delta s={\frac {(u+v)}{2}}\cdot \Delta t$

$\Delta s\$	=	${\frac {u+u+a\Delta t}{2}}\cdot \Delta t$
	=	${\frac {2u\Delta t}{2}}+{\frac {a(\Delta t)^{2}}{2}}$
	=	$u\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$

另一種更常用的推導方法是使用微積分。假設 $v=u+at$

• ${\frac {ds}{dt}}=v$
• $s=\int {vdt}$
• $s=\int {(u+at)dt}$
• $s=ut+{\frac {at^{2}}{2}}+C$
• 邊界條件是在 t = 0 時，Δs = 0，所以 C = 0。因此該方程式變為
• $s=ut+{\frac {at^{2}}{2}}$

推導 v² = u² + 2aΔs

該方程式是由公式 $\Delta s=u\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$ 和 $a={\frac {v-u}{\Delta t}}$ 推匯出來的。

將 $\Delta s=u\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}$ 乘以 $a={\frac {v-u}{\Delta t}}$

$a\Delta s={\frac {1}{2}}(v+u)\cdot \Delta t\cdot {\frac {(v-u)}{\Delta t}}$

$2a\Delta s=(v+u)(v-u)\$

$2a\Delta s=v^{2}-u^{2}\$

$v^{2}=u^{2}+2a\Delta s\$

推匯出向量中的方程

• 所有常量用大寫字母表示
• 所有變數用小寫字母表示

推導 v(t) = U_i + A (t - T_i)

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\ {\vec {s}}}{dt^{2}}}$

所以

${\vec {v}}(t)=\int _{T_{i}}^{t}{\vec {a}}dt$

對於零加速度或恆定加速度 A，我們有

${\vec {v}}(t)={\vec {A}}\int _{T_{i}}^{t}dt$

${\vec {v}}(t)={\vec {A}}\,[t]_{T_{i}}^{t}$

${\vec {v}}(t)={\vec {A}}\,(t-{T_{i}})+K$

我們有一個未知數 K，我們需要考慮初始或最終條件

• 假設最初我們有 ${\vec {v}}(T_{i})={\vec {U}}_{i}$

${\vec {U}}_{i}={\vec {A}}\,({T_{i}}-{T_{i}})+K$

即

$k={\vec {U}}_{i}$

${\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}})$

如果我們考慮最終條件，那麼： ${\vec {v}}(T_{f})={\vec {V}}_{f}$

${\vec {v}}(t)={\vec {V}}_{f}+{\vec {A}}\,({T_{f}}-t)$

可以使用初始和最終條件找到恆定加速度

${\vec {A}}={\frac {{\vec {V}}_{f}-{\vec {U}}_{i}}{T_{f}-T_{i}}}$

推匯出 s(t) = S_i + U_i(t-T_i) + (1/2)A (t - T_i)²

現在我們有

${\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}})$

${\vec {s}}(t)=\int _{T_{i}}^{t}{\Big (}{\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}}){\Big )}{dt}$

${\vec {s}}(t)=({\vec {U}}_{i}-{\vec {A}}\,T_{i})\int _{T_{i}}^{t}{dt}+{\vec {A}}\int _{T_{i}}^{t}t\ {dt}$

${\vec {s}}(t)=({\vec {U}}_{i}-{\vec {A}}\,T_{i})\ {\Big [}t{\Big ]}_{T_{i}}^{t}+{\vec {A}}{\Bigg [}{\frac {t^{2}}{2}}{\Bigg ]}_{T_{i}}^{t}+K$

$K={\vec {S_{i}}}$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+({\vec {U}}_{i}-{\vec {A}}\,T_{i})({t}-{T_{i}})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t^{2}-{T_{i}}^{2})$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+{\vec {U}}_{i}({t}-{T_{i}})-{\vec {A}}({t}T_{i}-{T_{i}}^{2})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t^{2}-{T_{i}}^{2})$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+{\vec {U}}_{i}({t}-{T_{i}})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t^{2}-2{t}T_{i}+{T_{i}}^{2})$

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{i}}}+{\vec {U}}_{i}({t}-{T_{i}})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2}$

如果我們採用最終條件，即 ${\vec {s}}(T_{f})={\vec {S}}_{f}$ 那麼

${\vec {s}}(t)={\vec {S_{f}}}+{\vec {V}}_{f}({T_{f}}-{t})-{\frac {\vec {A}}{2}}(T_{f}-t)^{2}$

推導 |v(t)|² = |U_i|² + 2 A . (s(t)-S_i)

${\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\,(t-{T_{i}})$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}\ (t-T_{i})^{2}+2{\vec {A}}\cdot {\vec {U}}_{i}(t-T_{i})$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}\ (t-T_{i})^{2}+2{\vec {A}}\cdot {\Bigg (}{\vec {s}}(t)-{\vec {S}}_{i}-{\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2}{\Bigg )}$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}\ (t-T_{i})^{2}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {s}}(t)-{\vec {S}}_{i})-2{\vec {A}}\cdot ({\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2})$

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {s}}(t)-{\vec {S}}_{i})$

考慮末速度的情況

${\vec {V}}_{f}\cdot {\vec {V}}_{f}={\vec {U}}_{i}\cdot {\vec {U}}_{i}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {S}}_{f}-{\vec {S}}_{i})$

或者

$\left|{\vec {V}}_{f}\right|^{2}=\left|{\vec {U}}_{i}\right|^{2}+2{\vec {A}}\cdot ({\vec {S}}_{f}-{\vec {S}}_{i})$