A-level 物理學/力、場和能量/振盪

如果你觀察一個擺錘、一個盪鞦韆的孩子或一個播放低頻聲音的揚聲器錐體的運動，你會注意到在每種情況下，都存在著從中心點來回的相同距離的運動，換句話說，就是振動。這些振動物體被稱為振盪。

觀察振盪

自由振盪

當一個物體處於自由振盪時，它以其固有頻率振動。例如，如果你敲擊一個音叉，它會在你敲擊它之後的一段時間內振動，或者如果你敲擊一個擺錘，無論你敲擊它多用力，它總是以相同的頻率振盪。所有振盪物體都有一個固有頻率，一旦它們從平衡位置移動，它們就會以這個頻率振動。

受迫振盪

想象一座在地震中的建築物。地面在左右移動，建築物（假設它足夠堅固，不會被力完全摧毀）也會隨著地面左右移動。在這種情況下，這種振盪不是建築物的固有頻率，而是被強迫與地面一起振動。這就是受迫振盪。

振盪系統的例子

• 用彈簧支撐的質量
• 擺錘
• 吉他的琴絃

描述振盪

振盪可以用位移-時間圖來表示，就像這樣

注意曲線是平滑的。這是因為物體在改變方向之前會減速，而不是來回反彈，這才是具有直線和尖銳拐角的圖形所描述的。具有如上所示的曲線線的位移-時間圖的運動被稱為正弦運動。

該圖可以顯示我們幾個振盪系統之間的差異。對於一個振盪系統，該圖可以顯示我們

• 在給定時間點的位移，
• 振幅，
• 週期和，
• 頻率

位移

在某一時刻的位移是指物體偏離中心點的距離。位移在中心點為 0，在一邊最大（通常在右側，當右側被認為是正值時），並在另一邊的最大負值點（通常是左側，但是，只有當右側被認為是正值時）。位移用符號 s 或 x 表示。

振幅

振幅是指振盪物體最大的位移。它是從中心點測量到一個最大位移點。振幅會隨著時間增加或減少。振幅用符號 A 表示

週期和頻率

週期是指完成一次振盪所需的時間。頻率是指每秒的振盪次數

簡諧運動

如果一個物體的加速度與其偏離固定點的位移成正比，並且始終指向該點，則該物體執行簡諧運動。

為了探索簡諧運動 (SHM)，讓我們以一個沒有重力的彈簧和一個質量作為例子（有趣的是，即使有重力存在，你也會得到 SHM）。如果這是我們的理想彈簧，那麼力為 kx，其中 k 是彈簧剛度的量度，x 是位移。如果這是彈簧的平衡位置，那麼力指向原點，所以我們寫 -kx 來提醒自己這一點。現在，牛頓第二定律變為

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$.

這個微分方程很容易求解，答案是 $Acos(\omega _{0}t+\phi )$ 其中 A 和 $\phi$ 是任意常數，而 $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$。我們如何得到解並不重要，因為我們是物理學家，而不是數學家。這是我們期待的答案，所以我們試一試，結果它有效。如果你不相信我，把它代入進去。此外，這是完整的解決方案，你必須相信我，因為這有點難以證明。

不失一般性，我們將取 $\phi$，也稱為相移，為零（如果你擔心這一點，我們只是定義了 t=0 在哪裡）。

現在，我們發現該解的一個顯著特點是頻率（弧度每秒），$\omega _{0}$ 與 A 無關。也就是說，無論振盪幅度多大，頻率都是一樣的。擺錘近似於 SHM，所以這就是為什麼它們被用在鐘錶中，振幅不影響週期！順便說一句，我們在歐米伽上加了下標零，因為我們很快就會用到其他歐米伽。

需要記住的一些術語是頻率 f（每秒週期） = $\omega _{0}/(2\pi )$ 和週期 T = $1/f$。這些並不那麼重要，但通常人們會指定頻率或週期而不是角頻率，所以它們可能會有幫助。

現在，為了得到速度，對位置求導，為了得到加速度，對速度求導。我們有：

$v=A\omega _{0}sin(\omega _{0}t)$ 和 $a=-A\omega _{0}^{2}cos(\omega _{0}t)=-\omega _{0}^{2}x$.

現在，我們還沒有說 A 是什麼。事實證明，它取決於問題或初始條件。我們可以說振盪器在某個 t 時的速度或位置是某個值，然後使用 v 或 a 的表示式來求解 A。如果你想求解相位，也可以用同樣的方法，但這有點繁瑣，而且不能告訴我們太多資訊。

請注意，最大的速度出現在振盪的平衡位置（x = 0）處。我們可以繼續做出這樣的陳述，但如果你簡單地在同一個圖表上繪製位置、速度和加速度，它們都非常明顯。

阻尼

自由振盪的物體以其固有頻率振盪。如果它沒有損失能量，它將永遠振盪下去。阻尼是指振盪質量損失能量。阻尼有三種類型

1) 輕阻尼 - 振幅隨時間逐漸減小

2) 臨界阻尼 - 質量將超過 0 位移

3) 重阻尼 - 位移在沒有任何振盪的情況下減小到 0。

阻尼的起因是摩擦力，例如汽車懸掛

讓我們試著量化一下。假設有一個摩擦力與速度成正比（在許多情況下這是一個很好的近似值），比例常數為 c。然後，根據牛頓第二定律，

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0$.

這個方程比沒有摩擦力的方程更難解。我將使用一個非常好的技巧，你將在整個物理學中遇到這個技巧，以及在你有類似方程的時候。請注意，如果 x 是一個解，y 是一個解，那麼 ax + by 也是一個解，其中 a 和 b 是常數（實數或複數）。這個性質意味著方程被稱為“線性”。我們知道 $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$。假設 x 是 $Ae^{i\omega t}$。然後我們只取 x 的實部，我們就可以得到答案，因為方程是線性的，但指數比正弦和餘弦更容易處理。運動方程變為

$(-m\omega ^{2}+i\omega c+k)e^{i\omega t}=0$

所以：

$(m\omega ^{2}-i\omega c-k)=0$ 或 $\omega _{0}=ic/2m\pm {\sqrt {(c/m)^{2}/4-k/m}}$.

定義 $\gamma =c/m$，並記住 $\omega _{0}^{2}=k/m$

$\omega =i\gamma /2\pm {\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$.

定義 $\omega _{\gamma }={\sqrt {-\gamma ^{2}/4+\omega _{0}^{2}}}$，我們有通解

$Ae^{-\gamma /2+i\omega _{\gamma }}+Be^{-\gamma /2-i\omega _{\gamma }}=e^{-\gamma /2}(Ae^{i\omega _{\gamma }}+Be^{-i\omega _{\gamma }})$.

我們所做的只是用尤拉恆等式取其實部，得到：

$Ce^{-\gamma /2}cos(\omega _{\gamma }t+\phi )$,

其中 C 和 $phi$ 只是用不同的方式寫 A 和 B。如果你想的話可以找到它們，但它們不會太有用。請注意，振盪器以越來越小的振幅振盪，但不是以其“自然”頻率振盪，而是以不同的頻率振盪。

可以想象 $\omega _{\gamma }$ 是虛數，在這種情況下，整個解只是一個負指數！這被稱為臨界阻尼，當它變成一個指數而不是振盪運動時。

共振

當振盪的驅動頻率等於物體的固有頻率時，質量會發生共振。（另見塔科馬海峽大橋，也稱為“搖擺的格蒂”）。這意味著要完成工作才能保持振盪的驅動。

如果驅動頻率小於固有頻率，振幅會減小到更小的值。