A 級物理/力學、場和能量/圓周運動

圓周運動是一個非常有趣的概念，而且並不複雜。在圓周運動和直線運動之間可以畫出很多聯絡（非字面意義上的）。事實上，隨著你不斷學習，你會發現圓周運動比直線運動更方便，因為它具有一些基本特性，最重要的是，一個物體的角運動對於所有粒子都是相同的，儘管它們的速率可能不同。然而，這將在旋轉力學中討論，而不是在這裡。在閱讀本節之前，請確保你已經徹底理解了直線運動、向量和微分。

角變數

與直線運動中表示位置向量、位移、速度和加速度的變數${\vec {r}},{\vec {s}},{\vec {v}},{\vec {a}}$ 相似，在角運動中我們有一些術語。

第一個變數是$\ \theta$，它是在圓心處所成的角。這可以與直線運動的位置向量${\vec {r}}$ 相比較。它以弧度或弧度為單位測量。

第二個變數是角速度，$\ {\vec {\omega }}$。就像速度是你的位置向量或你的位移隨時間 t 的變化一樣，$\ {\vec {\omega }}$ 是每單位時間的角度變化。它以弧度/秒為單位測量。此外，它不是你的位移角度。如果你在一秒鐘內覆蓋 360 度，並且是一個完整的圓圈，這並不意味著你的角速度為零，而是每秒 2 弧度。在數學上，我們有，$\ {\vec {\omega }}=d\theta /dt$

第三個變數是角加速度，$\ {\vec {\alpha }}$。它是角速度隨時間的變化。它以弧度/秒平方為單位測量，$rads/s^{2}$。在數學上，$\ {\vec {\alpha }}=d\omega /dt$

請注意，這些量不依賴於半徑。所有角項僅依賴於旋轉軸或圓心，這一事實使得圓周運動非常有用。

軸向量

需要注意的是，這些向量不是法向量，而是軸向量。軸向量是沿軸的向量。這些角變數不是沿著運動方向，而是沿著軸線，向上或向下。

這個概念很難想象。想象一根杆，它是你的旋轉軸，穿過一個圓盤。如果你試圖旋轉圓盤，軸線將開始旋轉。因此，你的軸線沒有真正速度。它根本沒有移動。

現在，如果你在杆上放一個小的環。它應該接觸，但不要太緊。如果你旋轉杆，環將開始向上或向下移動。這是由於物理現象，但對於這個目的，忽略其運動的動力學，只考慮它是向上或向下移動。此外，請注意，一般來說，當你逆時針旋轉它時，它會向上移動。透過這個實驗，你可以想象軸向量是如何工作的。

按照慣例，逆時針旋轉的軸向量的方向被認為是軸線上的正向上向量，反之亦然，對於順時針旋轉也是如此。需要注意的另一個點是，儘管軸向量可以被分解，以模擬一個在兩個軸上旋轉的物體，但這往往會使情況複雜化。如果你兩個旋轉軸沒有透過同一點，也會出現一些技術上的複雜情況。這是一種非常複雜的情況，這裡不予討論。

使用角變數

以下是幾個展示我們剛學過的角變數用法的例子。

示例 1

假設一個物體正在旋轉，使得它每分鐘在中心處掃過 1200° 的角。求它的角速度（用 SI 單位表示）。

我們知道，角速度是單位時間內掃過的角度。由於它每分鐘掃過 1200 度，並且角速度恆定，我們可以說它每秒掃過 20 度。20 度等於 $\pi /9$ 弧度。因此，我們得到 $\ {\vec {\omega }}=\pi /9$ rad/s。

示例 2

如果一個物體的角位移每秒增加 $\pi$，求它在任意時刻 t 的角速度和角加速度。

很明顯，角速度不是恆定的。第一秒的平均角速度為 $\pi$ rad/s，第二秒為 $2\pi$ rad/s，第三秒為 $3\pi$ rad/s。你可以觀察到，角速度等於時間 t 乘以 $\pi$ 弧度每秒。因此，${\vec {\omega }}=t\pi$ rad/s。

我們還可以看到，角加速度是恆定的，並且等於 $\pi$ 弧度每秒平方。因此，${\vec {\alpha }}=\pi$。

運動方程

現在我們來看一些方程，它們與直線運動的方程驚人地相似。上面給出的第二個例子可以用這些方程更好地解決。所有這些方程都只適用於**恆定角加速度**的情況。

1. ${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{0}+{\vec {\alpha }}t$ 該方程給出了角速度與時間之間的關係。 ${\vec {\omega }}_{0}$ 是初始角速度。
2. $\theta =\theta _{0}+{\vec {\omega }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\alpha }}t^{2}$ 該方程給出了角位移與時間之間的關係。 $\theta _{0}$ 是初始角位移。
3. $\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2\theta \alpha$ 此方程式給出了角速度和角位移之間的關係。請記住，ω **不是向量**。

例 3

如果一個物體繞軸旋轉，以 4 rad/s^2 的速率加速，求

1. 5 秒後的角位移和此時的角速度
2. 達到 12 rad/s 的角速度時的角位移

1. 時間已給出。在第一部分，我們需要一個 θ 和時間之間的關係。這是第二個方程式。因此，我們已經確定了方程式，$\theta =\theta _{0}+{\vec {\omega }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\alpha }}t^{2}$. 我們也知道 θ0、ω0 和 α 的值。代入，$\theta =0+0*5+{\frac {1}{2}}45^{2}=2\times 25$ $\theta =50$ 弧度。第二部分要求我們建立 ω 和時間之間的關係。這是第一個方程式。 ${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{0}+{\vec {\alpha }}t=0+4\times 5=20$ ${\vec {\omega }}=20$ rad/s
2. 有兩種方法可以解決此方程式。一種是透過第一個方程式求出時間，並將其代入第二個方程式，另一種是直接使用第三個方程式。 ${\vec {\omega }}={\vec {\omega }}_{0}+{\vec {\alpha }}t$ $12=0+4\times t$ 或者 $t=3$。代入方程式 2，$\theta =0+1/2\times 4\times 3^{2}=2\times 9=18$。在另一種方法中，$12^{2}=2\times \theta \times 4$ 或者 $\theta ={\frac {144}{2\times 4}}=18$

有人可能會問，為什麼一開始要考慮第一種方法。這是因為，如果給定的是角 **速度** 而不是你的 **速度**，第三個方程式將要求我們首先找到&omega的速度，即大小，然後我們才能繼續進行。這也不是什麼大問題，可以解決。但如果要求的是角速度，第三個方程式就不會給出。這些都是需要牢記的重要事項，即使它們不經常被應用。

角單位向量

為了方便起見，圓周運動中使用兩種不同的向量，即徑向向量和切向向量。與我們通常用於x軸和y軸分量的${\hat {i}}$ 和 ${\hat {j}}$ 向量不同，徑向向量 ${\hat {r}}$ 給出沿徑向線的向外分量。切向向量 ${\hat {\tau }}$ 給出沿切線的分量，逆時針方向為正。

如果已知中心所對的角，那麼透過三角函式，將這些向量轉換為正常的x軸和y軸向量就變得非常容易。