A 級物理/力和運動/標量和向量

向量和標量是物理學家使用的數學構造。一些物理量用標量表示，一些用向量表示，在處理這些物理量時，會對它們進行相應的運算。向量量具有與其相關的方向，而標量則被視為簡單的數字。

以下是作為標量和向量表示的一些量的示例。

標量

以下量具有大小，可能還有符號，但沒有與之相關聯的方向，它們是標量的示例

• 距離
• 速度
• 時間
• 質量
• 能量
• 密度
• 溫度

通常，標量量遵循任何數學運算的基本代數規則，例如加法、減法、乘法或除法（就像我們對數字所做的那樣）。

標量的加法

標量的加法很簡單，您只需要將數字加在一起即可。例如，5m + 3m = 8m，或 76b + 23b = 99b

標量的乘法和除法

標量的乘法和除法與乘法和除法普通數字相同。

您還應記住要乘除單位，以便您可以檢查您的答案是否以正確的單位給出。例如，如果您要查詢表面的面積：$3m\times 3m=9m^{2}$。面積的單位是$m^{2}$，所以這是正確的。

向量

方向的概念建立了空間中兩點之間的關係；也就是說，從一個點到另一個點的“方向”。例如，從點 A 到點 B 的方向可以指定為 A 到 B，而相反方向則是在這種情況下為 B 到 A。方向是無量綱的；也就是說，它沒有測量單位，只代表一條線，表示從到（從 A 到 B）的方向，沒有“多少”的含義，這被認為是可測量量的“大小”。

“大小”提供了對可測量量的“多少”（或“多少”）的認識。術語五英里的大小為五個度量單位；這個度量單位是英里。

當大小（“五”英里）與方向（假設為北；即從我到北極星的無量綱方向）相結合時，我們得到“北五英里”；這是一個“向量”。“向量”既有大小也有方向。一種特殊的向量在給定方向上的大小為 1，被稱為該方向的“單位向量”。只有大小而沒有相關方向的量是“標量”，如前所述。

具有相同方向和大小的兩個向量是相等的；從我到我“北五英里”的向量等於從你到“北五英里”的向量；無論你在哪裡。但是，從我移動到我“北五英里”處獲得的位置不是向量。該向量是“位移”，包括距離的大小（五英里）和方向（北）。位置可以用一個起始參考點（你；無論你在哪裡）和一個向量（北五英里）來表示，但向量本身不是一個位置；它必須有一個參考位置才能作為位置有意義。

以下量既具有大小，也具有與之相關聯的方向，因此是向量

• 位移（例如，北五英里）
• 速度（每秒 50 米，方位角為 60 度 15 秒）
• 加速度（每秒平方 32 英尺，直線上升）
• 重量（你的質量直線下落）
• 力（給定方向上的能量量）

向量可以在任何一組空間維度中表示，儘管通常它們是在 2-D 或 3-D 空間中表達的。

乘法

將向量乘以標量

當您將向量乘以標量時，結果是一個向量。如果乘以正標量，其方向不變；如果乘以負標量，其方向相反。向量的幅度只需乘以標量即可。

將向量乘以向量

當您將兩個向量相乘時，有兩種不同的乘法。一個是點積，一個是叉積。兩個向量的乘法超出了 A 級物理課程的範圍，但您可以在維基百科上找到有關它們的更多資訊。

向量的加法

只要向量朝向完全相同的方向，它們就可以像標量一樣相加。如果向量方向相反，您必須從一個向量中減去另一個向量，除非另有說明，否則您應使用常見的約定，即

• 上為正，下為負，以及
• 右為正，左為負。

當向量不在一條直線上時，您必須使用另一種方法來找到它們的總和。

勾股定理

如果兩個向量相互垂直，則可以使用勾股定理找到總向量，其中合向量是直角三角形的斜邊。

合力的方向可以透過以下公式求得：$\tan \phi ={\frac {b}{a}}$，其中 $a$ 是與角相鄰的一條邊，$b$ 是角的對邊，$\phi$ 是合向量的角度。

請注意，向量 a 對向量 b 的方向沒有影響，同樣，向量 b 對向量 a 的方向也沒有影響。當兩個向量相互垂直時，它們被認為是相互獨立的。

將向量分解為兩個垂直分量

一個向量可以分解成分量，這些分量彼此垂直，使得這兩個分量的向量和等於原始向量。（通常，將一個向量分解成兩個垂直分量很有趣，其中一個是垂直的，另一個是水平的。但是，分量不一定總是垂直和水平的；它們只需要彼此垂直）。將一個向量分解成兩個分量稱為分解向量。它是使用勾股定理新增兩個垂直向量的逆運算，因此新增這兩個分量將得到原始向量。這種方式分解的向量有很多用處。

分解一個向量需要一些簡單的三角學。在圖中，要分解的向量是力，$F$。對於角 $A$

• $F$ 的水平分量：$F_{x}=F\ \cos \ A$，並且
• $F$ 的垂直分量：$F_{y}=F\ \sin \ A$。

請注意，這兩個分量不一定是水平的和垂直的。角 $A$ 可以改變到任何需要的方向，並且這兩個分量仍然彼此垂直。