A-level 物理學/力學/力、功和功率

功

功是賦予（標量）量的一個特殊名稱

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}.$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物體上的力，$x$ 是位移。本質上，這個積分是所討論力的分量在位移方向上的分量乘以位移。如果力是恆定的並且物體沿直線運動，則它簡化為

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=Fx\cos \theta \$

其中 $W$ 是功，$F$ 是物體上的力，$x$ 是位移。請注意點積。

我們說 W 是“力 F 所做的功”。請注意 $F$ 不必是作用在物體上的總力，而只是我們正在檢視的力。詢問給定力對物體所做的功是有意義的。還要注意，作用在物體上的兩個力的總和所做的功等於這些力分別作用在物體上所做的功的總和。這導致了功的解釋，即它是作用在物體上的力傳遞給物體的能量。（當然，負功是能量從物體中轉移出去。）這是我們甚至考慮功的全部意義。

例如，假設我們有一個作用在物體上的總力 ${\vec {F}}$。那麼功就是

$\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {r}}=m\int {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot {\vec {v}}dt=m\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}=\Delta \left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\Delta KE$

這只是在第一步中使用了牛頓第二定律，並在積分中進行了代換。這表明作用在物體上的總力所做的功是物體動能的變化。例如，如果你拿著一個蘋果，然後把蘋果向下移動一點然後停止，會發生什麼？蘋果的勢能肯定發生了變化，所以有人在做功，即使動能沒有變化——怎麼會這樣？我們必須考慮所有的力。重力對蘋果做了功，但蘋果也對你做了功（你對蘋果做了負功）——你吸收了能量！因此，實際上沒有悖論。

在一種非常特殊的情況下，功的大小並不取決於如何移動一個粒子，而只取決於起點和終點。這種力場被稱為“保守力場”。這意味著我們可以引入勢能。令人驚訝的是，重力就是一種保守力，這就是為什麼我們可以談論物體的“勢能”。這只是為了簡化地表示將物體從某個地方（參考點）移動到我們正在討論的地方所需要的功。因此，動能的變化等於勢能變化的負值，這基本上說明系統的總能量是恆定的。事實上，這就是這種力被稱為保守力的原因——它守恆機械能！

耗散力，比如摩擦力（它總是消耗能量），有時被稱為非保守力。這有點錯誤，因為在分子層面上，這些力實際上是保守的。然而，在很多情況下，直接說能量不守恆會更方便，即使我們完全清楚它正在消失成原子的運動或熱量。你會聽到很多人說在特定情況下能量不守恆，但當然它是守恆的；能量總是守恆的。

事實證明，一個力是保守力當且僅當該力是“無旋的”或“無捲曲的”，這與向量微積分有關。但是對於我們所有目的，並沒有非保守力！

然而，為了量化所有內容，我們有非保守力所做的功是物體總能量的變化。

功率

功率是做功的速率。因此我們有

$P={\frac {dW}{dt}}$

所以，

$P={\frac {d}{dt}}({\vec {F}}\cdot {\vec {x}})$,

並且對於不隨時間變化的力，它變為

$P={\vec {F}}\cdot {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$.

這意味著如果力作用在速度方向上，則速度不會改變，因為功為零，所以動能的變化為零。等等，這怎麼可能，既然力必然會加速某樣東西？它是加速它，它正在改變運動方向——加速度意味著向量速度的導數，而不是速度的大小。事實上，這告訴我們，速度方向上的力分量負責（並且只有）速度大小的變化，而垂直於速度方向上的力分量負責（並且只有）速度方向的變化。為了稍微量化一下，可以證明

${\vec {a}}=||v||{\vec {T}}+{\frac {||v||^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$

其中 a 是加速度，v 是速度，T 是單位切線向量（與粒子的路徑相切，因此與速度向量平行），N 是單位法線向量（垂直於切線向量，並且指向切線向量的導數方向，你可以透過在曲線上繪製兩個非常接近的切線向量來描繪它），以及 $\rho$ 是曲率半徑，它本質上是與該點路徑最吻合的圓的半徑（圓的曲率半徑是圓的半徑，直線的曲率半徑是無窮大）。所有這些內容對於理解物理學來說並不是真正必要的，但如果你理解它，它將幫助你理解正在發生的事情。注意第二項是向心加速度——事實上，這就是我們得到它的公式的地方。

最後，只是為了寫出功率的定義以使其看起來漂亮，如果功以變化的速率完成，則

$P={\frac {dW}{dt}}$

如果功以恆定的速率完成，則這將變為

$P={\frac {W}{\Delta t}}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}$.

壓力

壓力是單位面積上的力。

$P={\frac {F}{A}}$

扭矩

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\;\mathbf {x} \;{\vec {F}}\$

$\tau =rF\sin \theta \$

扭矩是作為圓周運動的一部分施加的“旋轉力”，例如使汽車車輪轉動的力。在國際單位制中，扭矩的單位是牛頓米。