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運動學是運動的描述。點粒子的運動用三個術語完全描述 - 位置、速度和加速度。對於真實物體（不是數學點），平移運動學描述物體質心在空間中的運動，而角運動學描述物體圍繞其質心旋轉的方式。在本節中，我們只關注平移運動學。位置、位移、速度和加速度定義如下。

位置

"位置"是一個相對術語，它描述物體相對於某個選定的靜止點的位置，這個靜止點通常被稱為 "原點"。

向量是一個既有大小又有方向的量，通常寫成標量的列。也就是說，一個帶有方向的數字。

在物理學中，向量通常描述物體的運動。例如，沃蒂地松鼠向地洞走 10 米。

我們可以將向量分成稱為 "分量" 的部分，向量是這些分量的總和。例如，二維向量分為x 和y 分量。

一維座標系

位移

\Delta {\vec {x}}\equiv {\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}\,

位移回答了 "物體是否移動了？" 的問題。

請注意 $\equiv$ 符號。這個符號是一種 "超級等於" 符號，表明不僅 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 等於位移 $\Delta {\vec {x}}$ ，但更重要的是，位移是由 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 操作定義的。

我們說 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 操作定義位移，因為 ${\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}$ 提供了一個逐步確定位移的程式。

即

測量物體最初的位置。
測量物體在稍後時間的位置。
確定這兩個位置值之間的差值。

請務必注意，位移不等於所經過的距離。

例如，想象沿著圓周走一次。如果你最終回到了起點，你的位移為零，即使你顯然走了一些距離。事實上，位移是所經過距離的平均值。在你沿著圓周的旅行中，你的南北運動抵消了，你的東西運動也抵消了。

很明顯，我們丟失了一些重要資訊。重新獲得這些資訊的關鍵是使用更小的位移間隔。例如，與其在一個大的步驟中計算你沿著圓周旅行的位移，不如考慮將圓周分成 16 個相等的段。計算你沿著每個段所走過的距離，然後將所有結果加起來。現在你所走過的總距離不再是零，而是大約等於圓周長。你的近似值是否足夠好？最終，這取決於你在特定應用中所需的精度級別，但幸運的是，你總是可以使用更精細的解析度。例如，我們可以將你的旅行分成 32 個相等的段，以獲得更好的近似值。

回到你繞圓圈的旅程，你知道真正的距離就是圓的周長。問題是我們經常會遇到確定實際行駛距離的實際限制。（例如，行駛路徑可能有很多彎彎曲曲的地方。）幸運的是，我們總能確定位移，透過仔細選擇足夠小的位移步長，我們可以使用位移來獲得實際行駛距離的相當好的近似值。（微積分的數學提供了一種透過使用連續更好的近似值來估計“真值”的正式方法。）在本討論的其餘部分，我將用 $\Delta$ 代替 $\delta$ 來表示已經使用了足夠小的位移步長來為實際行駛距離提供足夠好的近似值。

速度

{\vec {v}}_{av}\equiv {\frac {{\vec {x_{f}}}-{\vec {x_{i}}}}{t_{f}-t_{i}}}\equiv {\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}

[Δ，delta，大寫希臘字母 D，是一個通常用於表示差值的字首。] 速度回答了“物體現在是否在移動，如果是，移動速度如何？”

我們再次得到一個操作定義：我們被告知要執行哪些步驟來計算速度。

注意，這是平均速度的定義。位移 Δx 是包含在其中的較小位移的向量和，其中一些可能會相減。相反，行駛距離是較小距離的標量和，所有這些距離都是非負的（它們是位移的大小）。因此行駛距離可能大於位移的大小，如上面關於圓周行駛的示例。因此，平均速度可能很小（或為零，或為負），而速度為正。

如果我們小心地使用非常小的位移步長，使得它們非常接近於近似實際行駛距離，那麼我們可以將瞬時速度的定義寫成

{\vec {v}}_{inst}\equiv {\frac {\vec {\delta x}}{\delta t}}

[δ 是小寫delta。] 或者，根據微積分中的極限思想，我們有

{\vec {v}}_{inst}\equiv {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}

[d，與 Δ 和 δ 一樣，僅僅是一個字首；但是，它的使用明確地表明這是一個足夠小的差值，因此由於步長（而不是平滑地改變）數量而產生的誤差變得可以忽略不計。]

加速度

{\vec {a}}_{av}\equiv {\frac {{\vec {v_{f}}}-{\vec {v_{i}}}}{t_{f}-t_{i}}}\equiv {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}

加速度回答了“物體的速度是否在改變，如果是，改變速度如何？”

我們再次得到一個操作定義。我們被告知要執行哪些步驟來計算加速度。

同樣，還要注意，從技術上講，我們有一個平均加速度的定義。與位移一樣，如果我們小心地使用一系列小的速度變化，那麼我們可以將瞬時加速度的定義寫成

{\vec {a}}_{inst}\equiv {\frac {\delta {\vec {v}}}{\delta t}}

或者，藉助微積分，我們有

{\vec {a}}_{inst}\equiv {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{dt^{2}}}

向量

請注意，上面給出的位移、速度和加速度定義中，許多項上面都有小箭頭。小箭頭提醒我們，方向是位移、速度和加速度的重要組成部分。這些量是向量。按照慣例，小箭頭放在字母上方時總是指向右側。例如， ${\vec {v}}$ 只是提醒我們速度是一個向量，並不意味著這個特定的速度是向右的。

為什麼要用向量？舉個簡單的例子，考慮速度。僅僅知道一個人移動的速度是不夠的。我們還需要知道他移動的方向。更不平凡的是，考慮一個物體以多少種不同的方式可以經歷加速度（其速度的變化）。最終，一個物體可以透過三種不同的方式加速

物體可能正在加速。
物體可能正在減速。
物體可能以恆定速度運動，同時改變其運動方向。

更一般的加速度只是 1 和 3 或 2 和 3 的組合。

重要的是，運動方向的變化和加速或減速一樣是一種加速度。

在經典力學中，時間沒有關聯方向（你無法指向下週二）。因此， ${\vec {a}}_{av}$ 的定義告訴我們，加速度將指向速度變化 $\Delta {\vec {v}}$ 所指的方向。

理解 $\Delta {\vec {v}}$ 的方向決定了 ${\vec {a}}$ 的方向 導致了三個非數學但非常強大的經驗法則

如果物體的速度和加速度方向相同，則物體的速度正在增加。
如果物體的速度和加速度方向相反，則物體的速度正在減小。
如果物體的速度和加速度相互垂直，則物體的初始速度保持恆定（在該初始方向上），而物體在加速度方向上的速度增加。想想一顆在垂直重力場中水平發射的子彈。由於一個方向上的速度保持恆定，而另一個方向上的速度增加，因此整體速度（絕對速度）也增加。

同樣，更一般的運動只是 1 和 3 或 2 和 3 的組合。

使用這三個簡單的規則將極大地幫助你直觀地瞭解特定問題中發生的情況。事實上，大學物理的第一學期很大程度上只是這三個規則在不同形式下的應用。

運動方程（恆定加速度）

如果一個粒子的速度在相等的時間間隔內變化相等，無論這些間隔有多小，則稱該粒子以恆定加速度運動

{\frac {d{\vec {a}}}{dt}}=0\ \mathrm {\frac {m}{s^{3}}}

由於加速度是向量，因此恆定加速度意味著該向量的方向和大小在運動過程中都不會改變。這意味著平均加速度和瞬時加速度相等。我們可以利用這一點透過積分恆定加速度來推匯出速度關於時間的方程。

{\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}(0)+\int \limits _{0}^{t}{\boldsymbol {a}}\ dt

得到速度關於時間的以下方程。

{\boldsymbol {v}}(t)={\boldsymbol {v}}_{0}+{\boldsymbol {a}}t

為了推匯出位置方程，我們只需積分速度方程。

{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}(0)+\int \limits _{0}^{t}{\boldsymbol {v}}(t)\ dt

再次積分得到位置方程。

{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {x}}_{0}+{\boldsymbol {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2}

以下是運動方程

運動方程
方程	描述
${\vec {x}}={\vec {x}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}\$	位置作為時間的函式
${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t\$	速度作為時間的函式

以下方程可以透過組合以上兩個方程並消除變數來推導得出。

$v^{2}=v_{0}^{2}+2{\vec {a}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})\$	消除時間（非常有用，參見能量部分）
${\vec {x}}={\vec {x}}_{0}+{\frac {{\vec {v}}_{0}t+{\vec {v}}t}{2}}$	消除加速度

符號
符號	描述
${\vec {v}}$	速度（在時間 t 時）
${\vec {v_{0}}}$	初始速度
${\vec {a}}$	（恆定）加速度
$t\$	時間（運動過程中所用時間）
${\vec {x}}$	位置（在時間 t 時）
${\vec {x_{0}}}$	初始位置

一維加速度

二維加速度

（需要內容）

三維加速度

（需要內容）

力在運動中意味著什麼？

力意味著強度和力量。運動意味著移動。這就是為什麼我們需要力學和運動學。當我們想要知道物體的速度，運動以及其他有力的運動事物時，我們需要計算。...

我們如何計算速度？

如果你想要計算平均速度，行進距離或所用時間，你需要使用這個公式並記住它

 ${speed}={\frac {distance}{time\ taken}}$

這是一個易於使用的公式，你可以找到行進距離，所用時間或平均速度，你需要至少兩個值才能找到完整答案。

速度和速度是一樣的嗎？

速度是一個向量，它指的是“物體改變其位置的速率”，而速度是一個標量，不能為負。想象一個孩子快速移動，一步向前一步後退，始終返回到原始的起始位置。雖然這可能導致瘋狂的活動，但它會導致零速度，因為孩子始終返回到原始位置，運動永遠不會導致位置改變，換句話說， $\Delta {\vec {x}}$ 將為零。

速度用與速度相同的物理單位測量，但沒有方向元素。因此，速度是速度的大小分量。速度包含大小和方向分量。你可以將速度視為位移/持續時間，而速度可以視為距離/持續時間。

加速度

當汽車加速時，我們說它正在加速，當它減速時，我們說它正在減速。

我們如何計算它？

當我們想要計算它時，方法是這樣的：卡車司機猛踩剎車，在 5 秒內從 25 m/s 減速到 5 m/s。車輛的加速度是多少？

 ${acceleration}={\frac {change\ in\ velocity}{time\ taken}}={\frac {5-25}{5}}={\frac {-20}{5}}=-4\ ms^{-2}$

什麼是初速度和末速度？ 初速度是運動開始之前或運動過程中開始時的速度，末速度是運動停止時的速度。

還有另一種計算方法，方法是這樣的：這些寫出的方程式是主要方程式，這意味著當你沒有例如末速度時，你將如何計算方程式？

這是你要計算的方法。

觀察運動

如果你想知道一個運動員跑得有多快，你需要一個秒錶，然後當運動員開始跑步時，你啟動秒錶，當運動員衝刺到終點時，你停止秒錶，看看他跑了多快，如果你想看看運動員是否在浪費他的能量，當他在跑步時，看看他的動作，你就會知道他是否在浪費他的能量。

這個運動員正在跑步，當他在跑步時，科學家可以透過秒錶和觀察他的動量來知道他是否在浪費他的能量。

測量加速度

取一個斜坡，一個手推車，一些膠帶和一個秒錶，然後將膠帶放在斜坡上，並將手推車放在斜坡上，並將秒錶放在你的手中，當你釋放手推車時，立即開始計時手推車移動的速度，當手推車在末端停止時，停止計時。之後，在檢視計時後，記錄它，然後你讓斜坡稍微高一點，你會看到，它會逐漸減速。

牛頓

艾薩克·牛頓是一位英國物理學家、數學家（在他那個時代被稱為“自然哲學家”）、天文學家和鍊金術士。牛頓是有史以來最有影響力的科學家之一，他以對經典力學的發展做出的貢獻而聞名，並且獨立於戈特弗裡德·萊布尼茨發明了微積分。

牛頓運動定律

牛頓還以他的三大運動定律而聞名，這些定律描述了物體與其作用於它的力之間的關係，以及它對這些力的運動響應。

第一定律（也稱為慣性定律）指出，每個物體都保持其靜止狀態或勻速直線運動狀態，除非受到外力的作用而被迫改變該狀態。慣性矩定義為物質抵抗其運動狀態或靜止狀態發生任何變化的趨勢。
第二定律物體上所有外力的向量和 $F$ 等於該物體的質量 $m$ 乘以物體的加速度向量 $a$ ，或代數式 $F=ma$ .
第三定律指出，當一個物體對第二個物體施加力時，第二個物體同時對第一個物體施加大小相等、方向相反的力。

符號

一些有用的符號，我們已經看到，也將會看到

名稱	符號
行進距離	$d$ 或 $s$
力	$F$
速度	${\vec {v}}$
初始速度	${\vec {v}}_{0}$ 或 ${\vec {v}}_{i}$
末速度	${\vec {v}}_{f}$
速度變化	$\Delta {\vec {v}}$
加速度	${\vec {a}}$
質量	$m$
牛頓	$N$
引力	$G$
重量	$W$

力

力是任何傾向於改變物體運動的相互作用。換句話說，力可以使有質量的物體改變其速度。力也可以用直觀的概念來描述，例如推或拉。力既有大小又有方向，因此它是一個向量量。它以牛頓為單位，用符號 $F$ 表示。

如何計算力？

當我們想要計算力，並且我們有質量和加速度時，我們可以簡單地使用牛頓第二定律中所述的簡單公式，即 $F=ma$ ，其中 $m$ 是質量（或物體中物質的量），而 $a$ 是加速度。請注意，牛頓第二定律被定義為慣性的數值度量。

什麼是慣性？

慣性是物體保持其靜止狀態或勻速直線運動狀態的趨勢，除非受到外力的作用。

羅伯特·胡克

羅伯特·胡克是一位英國博學家，他在科學革命中發揮了重要作用，這得益於他的實驗和理論工作。

胡克定律

胡克定律是物理學中的一條基本定律，它指出，使彈簧伸長或壓縮一定距離 $X$ 所需的力 $F$ 與該距離成正比，或者用代數表示為 $F=-kX$ ，其中 $k$ 是一個常數，表徵彈簧的性質，即彈簧的剛度。