幾何/歸納和演繹推理

有兩種方法可以推進知識：從已知理念推理和綜合觀察。在歸納推理中，你觀察世界，並試圖根據你的觀察進行解釋。你從沒有先驗假設開始。演繹推理包括從已知事實進行邏輯斷言。

基本術語

在開始理解邏輯並由此開始證明幾何定理之前，必須先了解一些詞彙和符號。

條件語句：條件語句是指一個語句暗示另一個語句。條件語句包含兩個部分：條件和結論，前者暗示後者。條件語句總是以“如果語句 1，則語句 2”的形式出現。在大多數數學符號中，條件語句通常以p ⇒ q的形式寫出，讀作“如果p，則q”，其中p和q是語句。

逆命題：一個邏輯語句的逆命題是指結論變為條件，反之亦然；即，p ⇒ q 變為 q ⇒ p。例如，語句“如果一個人是女性，那麼他們就是人類”的逆命題是“如果一個人是人類，那麼他們就是女性”。條件語句的逆命題不一定與原語句具有相同的真值，儘管有時會相同，這一點將在後面變得明顯。

並且：並且是一個邏輯運算子，只有當兩個語句都為真時才為真。例如，語句“鑽石是人類已知的最硬物質並且鑽石是一種金屬”為假。雖然前一個語句為真，但後一個語句為假。然而，語句“鑽石是人類已知的最硬物質並且鑽石是由碳組成的”為真，因為兩個部分都為真。

或者：如果兩個語句用“或者”連線在一起，那麼“或者”語句的真值取決於構成它的兩個語句中是否有至少一個為真。例如，語句“星期二是在星期一之後或者星期四是在星期六之後”的真值為“真”，因為儘管後一個語句為假，但前一個語句為真。

非：如果一個語句前面有“非”，那麼它在評估該語句的反真值。 “非”的符號是。例如，如果語句p是“貓王已死”，那麼¬p 就是“貓王沒有死”。當它與包含“所有”一詞的語句相關時，“非”的概念可能會導致一些混淆。例如，如果r是“所有男人都有頭髮”，那麼¬r 就是“所有男人都沒有頭髮”或者“沒有男人有頭髮”。不要將此與“並非所有男人都有頭髮”或“有些男人有頭髮”混淆。 “非”應該適用於語句中的動詞：在這種情況下是“有”。¬p 也可以寫成 NOT p 或 ~p。NOT p 也可能被稱為“p 的否定”。

否命題：條件語句的否命題是指條件的否定暗示結論的否定。例如，p ⇒ q 的否命題是 ¬p ⇒ ¬q。與逆命題一樣，否命題不一定與原條件語句具有相同的真值。

雙條件語句：雙條件語句是指條件和結論相互暗示。雙條件語句以“當且僅當”開頭。例如，“當且僅當p，則q”意味著p暗示q 並且q 暗示p。

前提：前提是指其真值最初已知的語句。例如，如果有人說“如果今天是星期四，那麼自助餐廳就會供應煎餅”，並且知道今天是哪天，那麼前提就是“今天是星期四”或“今天不是星期四”。

⇒：表示條件語句的符號。p ⇒ q 讀作“如果p，則q”。

當且僅當：當且僅當是“當且僅當”的縮寫形式。它讀作“當且僅當”。

⇔：表示雙條件語句的符號。p ⇔ q 讀作“當且僅當p，則q”。

∴：表示“因此”的符號。p ∴ q 表示知道p 為真（p 為真是前提），並且透過邏輯推斷得出q 也必須為真。

∧：表示“並且”的符號。

∨：表示“或者”的符號。

演繹推理

演繹邏輯有幾種形式。最常見的演繹邏輯論證之一是肯定前件，它指出

p ⇒ q

p ∴ q

(如果 p，則 q)

(p，因此 q)

肯定前件的一個例子

如果我碰了腳趾，那麼我會感到疼痛。

我碰了腳趾。

因此，我感到疼痛。

另一種形式的演繹邏輯是否定後件，它指出以下內容。

p ⇒ q

¬q ∴ ¬p

(如果 p，則 q)

(非 q，因此非 p)

否定後件與肯定前件一樣是有效的邏輯形式。以下是一個使用否定後件的例子。

如果今天是星期四，那麼自助餐廳就會供應煎餅。

自助餐廳沒有供應煎餅，因此今天不是星期四。

另一種形式的演繹邏輯被稱為如果-那麼傳遞性質。簡而言之，這意味著可以存在邏輯鏈，其中一件事暗示另一件事。如果-那麼傳遞性質指出

p ⇒ q

(q ⇒ r) ∴ (p ⇒ r)

(如果 p，則 q)

((如果 q，則 r)，因此 (如果 p，則 r))

例如，考慮以下一系列如果-那麼語句。

如果今天是星期四，那麼自助餐廳就會供應煎餅。

如果自助餐廳會供應煎餅，那麼我會很高興。

因此，如果今天是星期四，那麼我會很高興。

歸納推理

歸納推理是一種邏輯論證，它不一定會證明一個語句，而是假設它。歸納推理在生活中經常被使用。民意調查是使用歸納推理的一個例子。如果對 1000 人進行民意調查，其中 300 人選擇 A 選項，那麼可以推斷出任何人口中 30% 的人也會選擇 A 選項。這將是使用歸納邏輯，因為它沒有明確地證明任何人口中 30% 的人會選擇 A 選項。

由於存在這種不確定因素，在試圖證明幾何性質時應儘可能避免使用歸納推理。