幾何/SMSG 歐幾里得幾何公理

SMSG 公理

未定義術語

點
直線（為簡單起見，稱為“線”）
平面

公理 1.（線唯一性）給定任何兩個不同的點，只有一條線包含它們。
公理 2.（距離公理）對於每對不同的點，都對應一個唯一的正數。
公理 3.（尺子公理）一條線上的點可以與實數建立對應關係，使得
1. 對於線的每個點，都對應一個唯一的實數，稱為該點的座標。
2. 對於每個實數，都對應線的唯一一個點，並且
3. 兩點之間的距離是對應座標差的絕對值。
公理 4.（尺子放置公理）給定一條線上的任意兩點 $P$ 和 $Q$，座標系可以選擇使得 $P$ 的座標為零，$Q$ 的座標為正。
公理 5.（點存在）(a) 每個平面至少包含三個不共線的點。 (b) 空間至少包含四個不共面的點。
公理 6.（點）如果兩個點在一個平面上，那麼包含這兩個點的整條直線都在同一個平面上。
公理 7.（平面唯一性）至少存在一個包含三個點的平面，且只有一個包含三個不共線的點的平面。
公理 8.（平面交集）如果兩個不同的平面相交，那麼它們的交集是一條直線。
公理 9.（平面分離公理）給定一條直線和一個包含它的平面，平面中不在直線上的點形成兩個集合，使得
1. 每個集合都是凸的，並且
2. 如果 P 在一個集合中，Q 在另一個集合中，那麼線段 ${\overline {PQ}}$ 與直線相交。
公理 10.（空間分離公理）不在給定平面上的空間點形成兩個集合，使得
1. 每個集合都是凸的，並且
2. 如果 P 在一個集合中，Q 在另一個集合中，那麼線段 ${\overline {PQ}}$ 與平面相交。
公理 11.（角測量公理）對於每個角，都對應一個 0° 到 180° 之間的實數。
公理 12.（角構造公理）設 ${\overrightarrow {AB}}$ 是半平面 $H$ 邊緣上的射線。對於 0 到 180 之間的每個 $r$，都只有一條射線 ${\overrightarrow {AP}}$ 使得 P 在 H 中，且 $m\angle PAB=r$ .
公理 13.（角加法公理）如果 D 是 $m\angle BAC$ 的內部一點，那麼 $m\angle BAC = m\angle BAD + m\angle DAC$.}
公理 14.（互補公理）如果兩個角構成一個線性對，那麼它們是互補的。
公理 15.（邊角邊公理）給定兩個三角形（或三角形與自身的）之間的一一對應關係，如果第一個三角形的兩條邊和夾角與第二個三角形對應部分全等，那麼該對應關係就是全等關係。
公理 16.（平行公理）過給定外部點，最多隻有一條直線平行於給定直線。
公理 17. 對於每個多邊形區域，都對應一個唯一的正實數，稱為它的面積。
公理 18. 如果兩個三角形全等，那麼三角形區域具有相同的面積。
公理 19. 假設區域 $R$ 是兩個區域 $R_1$ 和 $R_2$ 的並集。如果 $R_1$ 和 $R_2$ 至多在有限條線段和點上相交，那麼 $R$ 的面積是 $R_1$ 和 $R_2$ 面積的和。
公理 20. 矩形的面積等於底邊長度和高的乘積。
公理 21. 長方體的體積等於高乘以底面積的乘積。
公理 22.（卡瓦列裡原理）給定兩個立體和一個平面，如果對於每個與給定平面平行的，並且與立體相交的平面，這兩個交集所確定的區域具有相同的面積，那麼這兩個立體具有相同的體積。