幾何/第 3 章

幾何/第 3 章 討論邏輯論證。

符號邏輯

如果-那麼語句 或 條件語句 是指一個事物暗示另一個事物，但不一定反過來。例如，如果電力供應中斷，那麼你就無法使用你的電腦。（當給出像這樣的前提時，始終假設它們是真實的——方便地忽略你的電腦可能是一個有電池的筆記型電腦這一事實）。然而，如果你無法使用你的電腦，並不一定意味著電力供應中斷。它只意味著電力供應可能中斷了。

但如果你的電腦是可用的呢？那麼我們知道有電力——畢竟，如果沒有，你將無法使用電腦。這被稱為逆否命題。逆否命題 是透過將一個如果-那麼語句顛倒過來並否定兩部分而形成的，並且在原始語句為真的情況下始終為真。

為了在數學層面上理解逆否命題，你需要了解蘊含。蘊含是一種用 if-then 語句來表達一個事物暗示另一個事物的方式。它用箭頭表示，這裡排版為“→”。使用此箭頭的語句稱為條件語句，因為第二個值的真假取決於第一個值的真假。沒有電蘊含無法使用你的電腦。蘊含語句只有在第一個條件為真而第二個條件為假時才為假。如果兩者都為真，它就成立。如果第一個條件為假，則無論第二個條件是什麼，該語句都被認為是真假不定。

你可能還會注意到，兩個條件都被否定了。否定用於表明一個條件不為真（也稱為假），並在變數前面用“~” (波浪線) 符號表示。一個給定條件是真還是假被稱為它的真值。請注意，用變量表示的條件不能同時為真和假。任何總是錯誤的被稱為謬誤。總是正確的被稱為重言式。因此，沒有電蘊含無法使用你的電腦在符號邏輯中轉化為 ~E → ~C。符號邏輯 是一種使用變數來表示條件並使用符號來表示條件之間關係的邏輯系統。現在我們已經將我們的條件語句轉換為符號邏輯，很容易看出逆否命題是 C → E。

你可能還會注意到，你可以用其他方法重新排列變數和波浪線（“非”符號）。一種方法是取原始表示式並將兩邊都否定，就像你對方程一樣。請注意，否定一個已經否定的變數會導致“非”符號的移除。這將給你 E → C。這被稱為逆命題；它顛倒了原始語句的真值。你也可以將兩邊都顛倒過來，而不像在逆否命題中那樣否定它們。這將給你 ~C → ~E。這被稱為否命題；它將值顛倒過來。很容易看出它們是彼此的逆否命題，但它們與原始語句相同嗎？不。這將透過真值表來證明。真值表 是一個表格，它考慮了所有變數的所有可能值（真或假），然後給出關於一個語句是真還是假的結果，前提是變數具有特定的值。

首先，讓我們以表格形式回顧條件語句的性質。我們將使用的真值表將使用“F”表示假真值，使用“T”表示真真值。我們還將使用泛型條件語句 p → q。

**邏輯蘊含**
p	q	p → q
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

現在讓我們看看原始語句、逆命題、否命題和逆否命題的真值表。為了清晰起見，我們將包含兩個變數的否定形式。

**條件語句、逆命題、否命題和逆否命題**
p	~p	q	~q	p → q	~p → ~q	q → p	~q → ~p
F	T	F	T	T	T	T	T
F	T	T	F	T	F	F	T
T	F	F	T	F	T	T	F
T	F	T	F	T	T	T	T

由於原始語句和逆否命題在所有行中的真值都相同，因此它們被證明是相等的。同樣適用於逆命題和否命題，它們彼此相等，但與另外兩個不同。真值表是證明概念的一種方法，也是在符號邏輯中證明事物的唯一方法（儘管你並不總是需要寫出全部內容）。但是請注意，如果我們知道 p 和 q 具有相同的真值（哪個值無關緊要），那麼原始語句/逆否命題和逆命題/否命題都是真的。也就是說，p → q 和 q → p。這可以簡化為雙條件語句。雙條件語句 是指一個條件語句及其否命題都是真的，它可以寫成 p ↔ q。如果你知道一個雙條件語句是正確的，你也可以使用進入它的一個或兩個條件語句。真值表是證明概念的一種方法，也是在符號邏輯中證明事物的唯一方法。

我們剛剛完成了第一個證明。在數學中，證明使用邏輯而不是觀察來明確地表明某件事總是正確的。（你也可以證明某件事是不可能的，這仍然被認為是證明）。被證明是錯誤的東西被稱為“反駁”。這通常發生在某人發現一個反例時，即發現了一個例外，公式不成立或不工作。數學界對證明的要求非常高，但任何被證明的東西都被認為是毫無疑問的。任何被證明的東西都被認為是定理，並且可以用於證明其他定理。任何沒有被證明的東西被稱為猜想。