幾何/第一章 - 高中

第 1.1 節 - 導言

幾何來自兩個詞：geo，意思是地球，metry，意思是測量。因此，幾何的意思是“測量地球”。這門數學分支涉及對點和線及其組合的理解。換句話說，幾何學是一種用於測量無法用裝置測量的物體型別的數學。例如，沒有人能用捲尺繞地球測量，但我們很有信心地球赤道處的周長為 40,075.036 公里（24,901.473 英里）。我們是怎麼知道的？第一個已知的計算地球周長的案例是由埃拉托色尼在公元前 240 年左右完成的。您認為現在的科學家會使用什麼工具來測量行星的大小？答案是幾何學。

然而，幾何學不僅僅是測量物體的大小。如果你問一個高中學過幾何的人他/她記得什麼，答案很可能是證明。如果你問他/她最不喜歡什麼，答案很可能是證明。學習幾何學並不一定要包含證明。證明並不只存在於幾何學中。證明可以在代數中進行，也可以推遲到微積分。高中幾何幾乎總是花大量時間進行證明的原因是，第一本偉大的幾何教科書“幾何原本”完全是用證明寫成的。

本教科書基於歐幾里得幾何。歐幾里得指的是一本寫於兩千多年前的書，叫做幾何原本，由一位名叫歐幾里得的人寫成。在這本書中，歐幾里得用指南針、直尺和量角器提供了一種方法來證明幾何命題。他的方法影響了今天幾何學的教學方式。歐幾里得的書是數學課程的一部分，直到 20 世紀初。

第 1.2 節 - 推理

得出結論通常有兩種方式：歸納推理和演繹推理。

歸納推理

歸納推理是我們更常用的方法，它根據以往的觀察得出結論。例如，如果我注意到太陽每天都在東邊升起，那麼透過歸納推理，我可以得出結論，太陽明天也會從東邊升起。在數學中，我們可能會注意到一個模式，從中得出結論。看下面的模式

$1^{2}=1$ ,	$1\leq 1$
$2^{2}=4$ ,	$2\leq 4$
$3^{2}=9$ ,	$3\leq 9$
$(-1)^{2}=1$ ,	$-1\leq 1$
$(-2)^{2}=4$ ,	$-2\leq 4$

透過歸納推理，我們可以得出結論，無論何時對一個數字進行平方，結果都是一個大於或等於原數字的數字。根據對整數的平方結果，這似乎是正確的。然而，歸納邏輯並不確定。對於某些數字，我們的結論並不成立。

\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}

{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}

同樣的道理也可以應用於數學之外的問題。一位外國的美國棒球觀察者在觀看了幾場比賽後可能會得出結論，比賽由九局組成。只有在觀看了九局結束時仍處於平局的比賽後，他才會意識到這種觀察是錯誤的。歸納推理很有用，但不確定。總會有機會出現一個觀察結果，表明這種推理是錯誤的。只需要一個觀察結果就可以證明結論是錯誤的。這個理論最早是由庫恩在他的歸納法定律研究中提出的。問題是，一個正規化是否具有正確的概括性，從而得出事實性的結論。

幾何中的大部分推理都類似於此，包含三個簡單的階段（見示例 A）

1. 尋找共同點: 一種模式。
2. 做出猜想: 一個未經證實的陳述，你需要證明它。
3. 證明/反駁: 猜想。

演繹推理

演繹推理是透過結合已知的真理來創造新的真理，從而得出結論。與歸納推理不同，演繹推理是確定的，前提是使用正常的邏輯規則來得出這些真理。為了使用演繹推理，必須有一個起點，通常稱為理論的公理或假設。例如，幾何中的一個公理斷言，給定兩點，只有一條直線包含這兩點。注意，雖然這是一個公理，但它可以用來推匯出兩條不同的非平行直線只在一個點相交。

不僅公理可以用來推匯出新的真理。使用邏輯規則從公理中推匯出的其他知識可以用來驗證新的真理。例如，我們可以得出結論，如果三個點 A、B 和 C 不在同一條直線上，由其中兩點確定的直線只能在 A、B 和 C 處相交（因為我們已經知道兩條直線只在一個點相交，因此唯一需要證明的是由其中兩點確定的直線是不同的，而這顯然是正確的，因為給定的點不屬於任何一條直線上）。

詞彙

猜想：一個需要證明的陳述。

示例 A：做出猜想

前x個正奇數的和可以表示為 $n^{2}$

解法 - 歸納法
前 1 個正奇數的和：1 = 1 = 1²
前 2 個正奇數的和：1 + 3 = 4 = 2²
前 3 個正奇數的和：1 + 3 + 5 = 9 = 3²
前 4 個正奇數的和：1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
前 5 個正奇數的和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
前 6 個正奇數的和：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²

前x個正奇數的和為x²。

解法 - 演繹法

證明前 n 個奇數的和： $\sum _{x=1}^{n}(2x-1)=n^{2}$ .
	$\sum _{x=1}^{n}(2x-1)$
$=$	$2\sum _{x=1}^{n}x-\sum _{x=1}^{n}1$
$=$	$2{\frac {n(n+1)}{2}}-n$
$=$	$n^{2}+n-n$
$=$	$n^{2}$

注意，演繹示例是一個方程，它被簡化直到左側項被簡化為與右側項相等。這是證明，並且“方程”這個詞的根源不斷地提醒著歐幾里得關於等式的公理

等於同一個東西的東西也彼此相等。
如果將相等的東西加到相等的東西上，則整體相等。†
如果從相等的東西中減去相等的東西，則餘數相等。†
與彼此重合的東西彼此相等。
整體大於部分。

† 作為 C.N.s 2 & 3 的一個明顯擴充套件——如果在不等式的兩邊加上或減去相等的值，不等式仍然成立。

Σ 是求和符號，告訴讀者要使用的第一個數字位於求和符號的下方。數學中使用的小寫字母 "n" 指的是一個自然正數，其值未指定。大寫 $\mathbb {N}$ 用於表示自然數集，例如 $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ .

求和符號右邊的括號表示奇數的表示式

(2x-1)

您可以透過將求和符號下給出的 $x$ 的起始值輸入，然後完成計算來確認這一點。不斷將 $x$ 的值增加 1。

練習

以下是邏輯的簡單陳述，它們有一個主要前提，然後由一個次要前提進一步闡明，結論要麼是肯定的，要麼是否定的。答案必須包含前提的主題。

1) 所有蔬菜對您有益。西蘭花是一種蔬菜。因此，西蘭花對您有益。 這是哪種推理型別的例子？

2) 西蘭花是一種蔬菜。西蘭花是綠色的。因此，所有蔬菜都是綠色的。 為什麼這個結論無效？

3) 漿果是甜的。漿果是水果。因此，所有水果都是甜的。 為什麼這個結論無效？

4) 如果 x 的所有部分都是正數，而 y 是 x 的一部分，那麼 y 是正數。 這是什麼型別的推理？

示例

 Group A     
    (D is negative)  
    (B is negative)            
    (E is positive)  
    (C is positive)                  
    (F is positive)

僅僅因為 D 為負，並且是 A 組的一部分，並不意味著 A 組的所有部分都是負數。

 Group Z  [ = 5 ]
    (Y is 5)
    (X is 5)
    (W is 5)
    (V is 5)
    (U is 5)

由於 Z 組的所有部分都等於 5，因此您可以說 Y=W，W=U，U=X，X=V，並且 V=Y 等。

因為您知道 Z 組的所有部分都等於同一個值，因此您可以說，因為 T = 5，它就是 Z 組的一部分。

第 1.3 節 - 未定義術語

在幾何學中，有三個未定義的術語：點、線和平面。儘管幾何學中的大多數術語都是基於先前定義的術語來定義的，但不可能以這種方式定義每個幾何術語。第一個幾何術語不能基於先前定義的術語來定義。

雖然我們不能正式定義這三個術語，但我們可以非正式地描述它們。我們還使用這些術語來幫助我們編寫其他術語的定義，例如線段或射線。沒有公理說明線是直線。這意味著線的定義取決於您正在學習的理論。因此，在雙曲幾何中，線看起來不像歐幾里得幾何中的線，因為它們的定義不同。

在歐幾里得幾何中，點被認為沒有寬度、高度或厚度。現在想象一下拿起一支非常鋒利的鉛筆，在一張紙上點一個點。現在想象一下用放大鏡觀察它，這個點會很大，我們就能看到它有高度和寬度。點不是一個點，因為點既沒有高度也沒有寬度，但我們可以想象在點的正中間有一個點。休謨在他的《人性論》中使用它來證明公理和公設不是先驗的，而是人類理解的產物，因此是後驗的。

在擺脫了非定義之後，讓我們看看這些東西是如何工作的。點通常用一張紙上的一個點來表示。點很有用，因為它告訴我們某樣東西的確切位置，然後我們可以從這些資訊中構建觀察結果、猜想和規則。例如，我們可以說兩點決定一條直線。這意味著一旦知道兩點的位置，就知道包含這兩點的直線的位置。請注意，如果您只知道一個點的位置，那麼可以包含該點的直線數量是無限的，如果您知道三個點的位置，那麼很有可能沒有一條直線可以包含所有三個點。

在歐幾里得幾何中，線被認為有長度，但沒有寬度或高度。線是如此，線上的任意兩點描述了這兩點之間的最短距離。線在兩個方向上也永遠延伸。想象一根繩子，抓住兩端並拉緊。繩子表示兩端之間的最短距離。但請記住，線沒有任何寬度或高度。在放大鏡下，我們看到繩子有寬度。一根拉緊的繩子不是一條線，因為線沒有寬度，但我們可以想象線在繩子的正中間。

現在，當我們在幾何中談論線時，我們通常是指上面描述的直線，但在歐幾里得幾何中還有其他線，稱為曲線。曲線不是直線。圓的周長就是一個曲線示例。（我們將在教學大綱的後面討論圓形）。

好了，我們已經討論了線，那麼它們是如何表現的呢？我們通常用一支尺子將點連線起來並將它延伸到點之外，然後在一張紙上畫線來表示線。我們可以取線的片段並將其稱為線段，我們可以使兩條線相交，得到一個點（它們相交的地方）和一些角。我們還可以選擇透過在一個點處將其切斷來忽略線的一半，並將我們剩下的部分稱為射線。

平面有兩個維度：寬度和長度。這兩個維度都是無限的，並且由於只有兩個維度，所以平面是完全平坦且無限薄的，這意味著它沒有厚度維度。正因為如此，平面實際上沒有頂部或底部，因為頂部上的任何東西都在底部。如果您取兩個平面並使它們相交，您將得到一條線（稍後會詳細介紹），如果您取三個點，這些點不在同一條線上，那麼只有一條平面可以包含所有三個點（稍後也會詳細介紹）。平面很有用，因為平面可以容納幾何學使用的所有二維（平面）形狀。我們通常將一張紙（或電腦螢幕）的一面視為平面的一個部分。雖然這並不完全正確，但與點和線的表示一樣，這很有用。