幾何/第 5 章

第 5.1 節 - 證明三角形全等的 方法

SSS 全等

邊邊邊全等定理：如果一個三角形的三個邊等於另一個三角形的對應邊，那麼這兩個三角形全等。

SAS 全等

邊角邊全等定理：如果一個三角形的兩邊和它們的夾角等於另一個三角形的對應邊和它們的夾角，那麼這兩個三角形全等。

我們可以證明 ΔRPQ 全等於 ΔVST，因為角 RQP 和角 VTS 都為 100 度。線段 PQ 和 ST 都是 4 個單位，線段 RQ 和 VT 都是 5 個單位。因此，這兩個三角形根據邊角邊全等定理而全等。

HL 全等

斜邊直角邊全等定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊等於另一個直角三角形的對應斜邊和直角邊，那麼這兩個三角形全等。

A 平方加 B 平方等於 C 平方

ASA 全等

角邊角全等定理：如果一個三角形的兩個角和它們的夾邊等於另一個三角形的對應角和它們的夾邊，那麼這兩個三角形全等。

角 BAP 是直角，角 PDC 也是直角，所以它們相等。三角形 BAP 的角 APB 和三角形 DPC 的角 CPD 是對頂角，它們相等。線段 AP 和 PD 都是 5 個單位。由於，三角形 BAP 的兩個角和一條邊等於三角形 DPC 的兩個角和一條邊，因此這兩個三角形全等。

AAS 全等

角角邊全等定理：如果一個三角形的一條邊和兩個角等於另一個三角形的對應邊和對應角，那麼這兩個三角形全等。

我們可以證明 ΔABC 全等於 ΔYXZ，因為角 CAB 和角 ZYX 全等（都是 75 度），角 ACB 和角 YZX 全等（都是 65 度），並且 AB 全等於 YX（非夾邊）。因此，這兩個三角形根據角角邊全等定理而全等。

AAA 不起作用

三角形的三個對應角並不足以證明兩個三角形全等。 但是，它們確實可以證明兩個三角形相似。

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SSA 不起作用

兩條相鄰邊和一個角不能證明三角形全等。

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全等三角形的基本原理

猜想 1：如果兩個三角形全等，那麼它們的對應邊相等。

章節回顧

為了證明兩個 三角形 全等，需要三個資訊。這三個資訊可以是

• 所有三條邊的長度
• 兩條邊的長度和夾角的大小
• 兩個角的度數和夾邊的長度
• 兩個角的度數和另一條邊的長度

對於直角三角形，只需要兩個資訊。如果你能證明每個三角形的斜邊和另一條邊相等，那麼你就能知道這兩個三角形整體是全等的。

值得注意的是，你不能只根據角的度數來證明兩個三角形全等。即使你知道了每個三角形的所有角，它們的邊長也可能不同。

詞彙

• 邊邊邊全等定理：如果一個三角形的三個邊等於另一個三角形的對應邊，那麼這兩個三角形全等。
• 邊角邊全等定理：如果一個三角形的兩邊和它們的夾角等於另一個三角形的對應邊和它們的夾角，那麼這兩個三角形全等。
• 角邊角全等定理：如果一個三角形的兩個角和它們的夾邊等於另一個三角形的對應角和它們的夾邊，那麼這兩個三角形全等。
• 角角邊全等定理：如果一個三角形的一條邊和兩個角等於另一個三角形的對應邊和對應角，那麼這兩個三角形全等。
• 斜邊直角邊全等定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊等於另一個直角三角形的對應斜邊和直角邊，那麼這兩個三角形全等。

練習

每道練習的答案可以在附錄中找到。

1. 在三角形 RUN 和三角形 HID 中，角 R = 角 D，角 U = 角 I，並且 RU = DI。如果有的話，哪些三角形全等，為什麼？
2. 在三角形 FRE 和 SLV 中，FR = LV，EF = SL，並且角 F = 角 S。如果有的話，哪些三角形全等，為什麼？
3. 在三角形 MUS 和 CHR 中，角 S = 角 H，US = HR，並且角 U = 角 R。如果有的話，哪些三角形全等，為什麼？
4. 在三角形 QWE 和 RTY 中，QW = TY，WE = RY，並且 QE = RT。如果有的話，哪些三角形全等，為什麼？

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