幾何/第 8 章

周長

某個形狀的周長是其所有邊長的總和。

• 對於三角形

$P=l_{a}+l_{b}+l_{c}$ 周長等於邊 a 的長度，$l_{a}$，加上邊 b 的長度，$l_{b}$，加上邊 c 的長度，$l_{c}$。

• 對於正方形

$P=4l$ 周長等於邊長 (l) 的 4 倍。

• 對於矩形

$P=2(b+h)$ 周長等於底邊加上高的總和的 2 倍。

• 對於正多邊形

$P=nl$ 周長等於邊數 (n) 乘以邊長 (l)。

圓形不像多邊形那樣由線段組成，但它確實有一個稱為周長的周長。$C=2\pi r$ 周長等於 2 乘以 pi 乘以半徑 (r)。

面積

形狀的面積是指其周長內的空間大小。

• 對於三角形

$A={\frac {bh}{2}}$ 面積等於底邊 (b) 乘以高 (h) 的積除以 2。

• 對於正方形

$A=l^{2}$ 面積等於邊長 (l) 的平方。

• 對於矩形

$A=bh$ 面積等於底邊 (b) 的長度乘以高的長度 (h)。

• 對於圓形

$A=\pi r^{2}$ 面積等於 pi 乘以半徑 (r) 的平方。

• 對於形狀不規則的多邊形，可以使用較小面積的總和。較小的面積必須完全構成多邊形。有用的較小面積可以是正方形、三角形或矩形。

• 還有一種計算位於二維座標系中的多邊形面積的方法

$A={\frac {{\big |}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\cdots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}{\big |}}{2}}$ 其中 $(x_{k},y_{k})$ 是多邊形的第 i 個頂點，它們必須按正確的順序給出，順時針和逆時針都可以。多邊形無需是凸形的。

體積

體積是指物體所佔的空間大小。只有三維形狀才具有體積。這是因為二維物體沒有厚度，因此不佔空間。

• 對於立方體

$V=l^{3}$ 體積等於邊長 (l) 的立方。

• 對於長方體

$V=bwh$ 體積等於底 (b) 乘以寬 (w) 乘以高 (h)。

• 對於球體

$V={\frac {4\pi }{3}}r^{3}$ 體積等於四分之三乘以圓周率乘以半徑的立方。

• 對於圓錐體或稜錐體

$V={\frac {Bh}{3}}$ 體積等於底面積乘以高的三分之一。

• 對於底面為任何形狀的圓柱體（只要橫截面積恆定），

$V=A_{base}\cdot h$ 其中 h 是圓柱體的高度（不是斜高），$A_{base}$ 是底面積。例如，圓柱體的體積是 $\pi r^{2}h$

表面積

對於大多數形狀，您可以透過將所有側面的面積加起來來找到表面積。例如，

• (封閉) 長方體，尺寸為 w、l 和 h：$SA=2(lw+lh+wh)$
• 封閉立方體：$SA=6s^{2}$
• 封閉圓柱體，底面積為 A，底面周長為 P：$SA=Ph+2A$

  對於圓柱體，$SA=2\pi r(r+h)$

球體很特殊，因為它們沒有邊，但使用微積分可以證明

• 球體：$SA=4\pi r^{2}$

練習

1. 如果圓柱體的底面積為 10 釐米，高度為 12 釐米，它的體積是多少？

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