幾何/第 18 章

三角學

三角學是數學的一個分支，它處理三角形邊和角的測量。使用三角函式，可以利用最少的資訊來確定邊和角的度量（即“解三角形”）。

什麼是直角三角形？

直角三角形是指其中一個角為 90º 的任何三角形。直角三角形由兩條短邊（在較小的角度對面）和一條長邊（在直角對面）組成。直角三角形的邊有特殊的名稱。較小的兩條邊稱為直角邊，較長的邊稱為斜邊（發音為 hi-POT-uh-noose）。

請注意，左下角是 90 度。標記為“對邊”和“鄰邊”的邊是直角邊，這些名稱是相對於角“a”而言的。這些術語在討論直角三角形的邊時將始終使用，並且始終相對於某個角給出。記住，斜邊始終是最長的邊，並且始終在直角對面。

練習

讓我們練習一下我們所學到的知識。對於下面的三角形，請填空。

斜邊的長度是多少？_________
角“a”對邊的長度是多少？_________
角“a”鄰邊的長度是多少？_________

檢視答案

正確答案分別是 10 英尺、8 英尺和 6 英尺。

三角函式

三個最常見的三角函式是正弦（縮寫為“sin”）、餘弦（縮寫為“cos”）和正切（縮寫為“tan”）。這些三角函式可以根據你擁有的資訊來確定。如果給出了角度，則在大多數科學計算器中輸入 sin(x)、cos(x) 或 tan(x)（其中“x”是角度）將得出給定值的正弦、餘弦和正切。另外三個函式分別是餘割（縮寫為“csc”）、正割（縮寫為“sec”）和餘切（縮寫為“cot”或“ctn”），分別是正弦、餘弦和正切的倒數函式。

Soh Cah Toa

圖 1. 在這個例子中，角 A 是參考角，因此邊 a 必須是對邊，邊 c 是鄰邊。邊 b 是斜邊。

在直角三角形中，如果至少給出兩條邊的長度，則可以使用通常被稱為記憶技巧Soh Cah Toa 的方法來確定正弦、餘弦或正切。這指的是

Soh：sine = opposite / hypotenuse
Cah：cosine = adjacent / hypotenuse
Toa：tangent = opposite / adjacent

術語對邊和鄰邊是相對於參考角而言的，參考角是你計算的基礎。在圖 1 中，由於角A是參考角，因此該角的對邊是邊a。雖然有兩條邊與角A相鄰，但邊b被指定為斜邊，因此邊c是鄰邊。因此，在圖 1 中

sin(A) = a/b
cos(A) = c/b
tan(A) = a/c

請注意，“sin(A)”讀作“A 的正弦”，“cos(A)”讀作“A 的餘弦”，“tan(A)”讀作“A 的正切”。

例如，如果a = 7和c = 14，則需要找到角 A 的正切，因為其他兩個比率需要斜邊，而斜邊是不可用的。由於正切是對邊除以鄰邊，因此你會得到tan(A) = 7/14，它可以簡化為二分之一。

現在怎麼辦？

注意：請先確保你的計算器使用度數表示角度。

在確定三角形的度量時，正弦、餘弦和正切都有一個函式：確定角度。上面已經確定參考角A的正切為 1/2。如果在科學計算器中輸入 tan^-1(1/2)，你會看到你將得到A的角度，它約為 26.6°。你現在有兩個角度：26.6° 和 90°，因為這是一個直角三角形。由於三角形中所有角的和為 180°，因此從 180 中減去兩個已知的角度，你將得到第三個角度：63.4°。

求解三角形的邊和角度的度量將在第 19 章中更深入地介紹。