幾何/第 2 章

第 2.1 節 - 證明

證明是為了讓使用者理解為了獲得給定輸出而採取了哪些步驟。根據學生最容易理解的方式，證明有三種類型。

兩列證明

兩列證明（也稱為形式證明）以兩值表的形式設定，一個為“語句”，另一個為“理由”。要使用此方法證明一個簡單的問題，請設定一個如下所示的表格

語句	理由

確保為兩列中的值留出空間。在幾何學中，第一行是問題的“已知”。這是關於特定問題的資訊，不使用圖片。最後一行應該是你要證明的結論。

兩列證明的示例

現在，假設一個問題告訴你求解 $x+1=2$ 的 $x$ ，展示所有步驟以獲得答案。證明展示瞭如何做到這一點

語句	理由
$x+1=2$	已知
$x=1$	減法性質

我們使用“已知”作為第一個理由，因為它在問題中是“已知”的。

文字證明

文字證明（也稱為非形式證明、段落證明或“證明計劃”）以段落的形式寫成。除了這種格式上的區別外，它們與兩列證明類似。

有時在將證明正式化為兩列形式之前，先進行文字證明會很有幫助。如果你在將證明轉化為兩列形式時遇到困難，請嘗試先在文字證明中“說出來”。

文字證明的示例

我們已知 x + 1 = 2，因此如果我們從等式兩邊減去 1（x + 1 - 1 = 2 - 1），那麼根據減法的定義，我們可以看到 x = 1。

流程圖證明

流程圖證明或更簡單的流程證明是兩列證明的圖形表示。每個語句和理由都記錄在一個框中，然後用箭頭將一個步驟連線到另一個步驟。這種方法展示了不同的想法如何結合起來形成證明。

第 2.2 節 - 理由

幾何學中的每個概念都以邏輯的順序發展。沒有解釋如何或為什麼，人們就不能從 A 到 B。例如，以下不是證明

$5(x+1)^{2}-x$
$x=4$

此外，我們也不能編造理由來解釋為什麼我們採取了下一步。因此，我們只能使用某些資訊作為我們的理由。這些包括

1. 已知：這通常是我們試圖解決的問題（等式），或問題中給出的某些重要資訊。

2. 性質：這些性質大多數都是加、減、乘、除的基本數學運算，例如上面示例中的第二個理由（減法性質）。

3. 定義：再說一遍，“因為它就是那樣”不是理由。這種推理不像其他推理那樣常見。透過使用定義，有時可以縮短答案或證明的一部分工作。例如，透過使用“角平分線的定義”作為理由（並且已經能夠透過已知資訊或證明的早期部分進行證明），你可以證明兩個相鄰角全等，而無需進行更長的證明。

4. 公理：在大多數情況下，與公設相同。區別在於公理是代數性質，而公設主要來自幾何學。例如“任意兩點之間只有一條直線”。雖然它不能透過證明來證明（儘管作者挑戰任何人不相信它），但它被接受為一個理由。公理很少，所以雖然它聽起來不錯，但如果你編造了它，有人會注意到。

5. 定理：定理是透過自身證明被證明為真的語句。它們本身就是非常有用的捷徑，因為透過陳述一個定理，許多事情都被證明了，你就不必重新證明定理。定理可以很簡單（“如果兩條直線相交，它們在一點相交。”）或者非常複雜（“兩個等距的合成是一個等距。”[如果你不明白，不要驚慌；稍後會解釋]）。有時，你會被給出定理的證明；其他時候，作為練習的一部分，你會被要求自己證明它。

6. 公理：在大多數情況下，與公設相同。區別在於公理是代數性質，而公設主要來自幾何學。

7. 推論：這些語句源於定理和定義中被證明的內容，不需要（儘管通常有）單獨的證明。

在許多教科書中，證明為了方便後面的索引而被編號。在進行正確的幾何證明時，不應寫下“定理 15”。請將陳述完全照原樣寫出來（是的，你需要背誦一些幾何內容）。你必須確保框中的資訊與前面的框相關。

第 2.3 節 - 幾何中的證明應用

練習

每道練習的答案可以在附錄中單獨找到。

1.

已知

$r||s$ r 平行於 s
$\angle 1=60^{\circ }$ 角 1 = 60 度。

證明：求出附圖（上方）中其他七個角的度數。

2.

已知

$\angle 2\cong \angle 3$ 角 2 和角 3 全等

證明：直線 r 和 s 平行。

3.

已知

$\angle 1=\angle 2=90^{\circ }$ 角 1 和角 2 都是 90 ⁰

證明：圖中的直線 a 和 b 平行。

4.

已知

${\overline {GH}}||{\overrightarrow {DK}}$ 線段 GH 平行於射線 DK
$\angle 6=75^{\circ }$ 角 6 = 75 度。
$\angle 2=30^{\circ }$ 角 2 = 30 度。

證明：求出上圖中每個編號角的度數。

第 2.4 節：反證法

反證法，也稱為間接證明，透過證明命題為假會導致矛盾來證明命題為真。

一個經典例子：證明 2 的平方根是無理數

假設 ${\sqrt {2}}$ 是一個有理數，這意味著存在一個整數 $a$ 和一個整數 $b$ 使得 $a/b={\sqrt {2}}$ 。
然後， ${\sqrt {2}}$ 可以寫成一個簡化的分數 $a/b$ ，使得 $a$ 和 $b$ 是互質整數，也就是說，它們的最大公約數為 1。
由此可知 $a^{2}/b^{2}=2$ 並且 $a^{2}=2b^{2}$ 。 ( $(a/b)^{n}=a^{n}/b^{n}$ )
因此 $a^{2}$ 是偶數，因為它等於 $2b^{2}$ 。( $2b^{2}$ 一定是偶數，因為它是另一個整數的 2 倍，偶數是 2 的倍數。)
由此可知 $a$ 必須是偶數（因為奇數的平方永遠不會是偶數）。
由於 $a$ 是偶數，存在一個整數 $k$ 滿足： $a=2k$ 。
將步驟 6 中的 $2k$ 代入步驟 3 中的第二個方程的 $a$ ： $(2k)^{2}=2b^{2}$ 等價於 $4k^{2}=2b^{2}$ ，它等價於 $2k^{2}=b^{2}$ 。
因為 $2k^{2}$ 可以被 2 整除，因此是偶數，並且由於 $2k^{2}=b^{2}$ ，因此 $b^{2}$ 也是偶數，這意味著 $b$ 是偶數。
根據步驟 5 和 8， $a$ 和 $b$ 都是偶數，這與步驟 2 中所述的 $a/b$ 是不可約的矛盾。