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幾何/介紹

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高中幾何簡介

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幾何這個詞最初來自希臘語，字面意思是測量地球。它是數學的一個古老分支，但其現代含義在很大程度上取決於語境。

  • 對於小學或初中生（美國學校系統中六到十三歲），幾何是研究簡單形狀的名稱和屬性（例如，三角形、正方形、矩形、梯形、圓形、稜柱等的定義屬性，以及它們的面積或體積公式）。
  • 對於高中生（美國學校系統中十四到十七歲），幾何有兩種形式：合成幾何和解析幾何。合成幾何使用演繹證明來研究點、線、角、三角形、圓形和其他平面圖形的屬性，大致遵循公元前 300 年左右希臘教科書作者歐幾里得制定的計劃。解析幾何遵循法國數學家勒內·笛卡爾 (1596-1650) 和皮埃爾·德·費馬 (1601-1665) 的開創性工作，在平面上施加座標網格，使得可以透過代數（例如，線性方程和二次方程）來研究幾何物件（例如，線、拋物線和圓形），反之亦然。
  • 對於數學研究人員來說，幾何是一個已經遠遠超出其根源的學科，他可能會將自己的領域稱為現代幾何，以區別於學校科目。現代幾何主要有兩種形式：代數幾何（代數曲線和曲面，代數簇）和微分幾何（黎曼幾何，自旋幾何，李群和代數）。微分幾何在很多方面都有應用；用來描述廣義相對論中的宇宙（洛倫茲 4-流形），用來描述肥皂膜（極小曲面）以及作為粒子物理學的基石（李群）。

這本華夏公益教科書的第一部分力求成為一本高中幾何教科書，足以滿足加州課程內容標準。

為什麼要投入精力學習幾何？

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基礎幾何是一個非常強大的實際問題解決工具。它被古代埃及人和希臘人用來解決大多數問題，是理性思維的原型。今天我們使用代數，而希臘人則使用幾何。它在所有建築和製造行業中仍然非常流行。在建造大型且昂貴的物體之前，最好先在小型模型中解決問題。在花費大量精力製作模型之前，最好先繪製圖紙。藉助幾何，圖紙變得非常精確，可用於預測尺寸和成本。幾何很容易掌握；證明比數獨更有趣；它的應用就像錘子和鋸一樣實用。它將賦予你先進的視覺直覺以及對理性證明和純數學中最抽象領域跳板的強烈理解。很難想象沒有幾何的數學教育。

在嘗試閱讀本文之前，我應該瞭解些什麼？

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  • 閱讀小學幾何。它將使你熟悉這裡使用的術語和圖表。
  • 你應該能夠進行不使用計算器（1/4 + 2/5 = 13/20）的加法分數運算；以及解決簡單的代數問題（2x -1= 0 則 x= 1/2）和 (X^2-16=0)。代數和幾何通常一起教授，學生在需要的時候會了解足夠的代數。在進行幾何學習的同時，閱讀算術和初等代數的前幾章不會有什麼壞處。數學是建立在自身基礎上的。這意味著，只有當你完成所有示例並學習定義時，後面的內容對你才有意義。保留一個筆記本，並多畫圖。與他人討論你所學到的內容是無價的。你盡到你的責任，一本好的教科書會讓你達到目的。來自代數的單元 1應該足以讓你掌握這本教材所需的知識。

難度幾何？直覺與嚴謹

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十五個小男孩坐在他們的第一個足球教練面前，對這項運動一無所知。教練站起來教他們踢足球。他是如何開始的？

也許他講課幾個小時，解釋足球規則以及常見的策略和戰術。小男孩感到厭倦。由於沒有比賽經驗，他們很難理解規則，更難記住規則。到最後，他們對足球比賽的感覺毫無頭緒。

另一方面，也許教練將男孩分成兩隊，帶他們到足球場，扔給他們一個球，告訴他們，“試著把球踢進對方球門，並守住自己的球門”，然後讓他們比賽。由於不知道規則，男孩們玩的遊戲與足球沒什麼相似之處。他們撿起球，抱著球跑，毫不理會球場的界限。當他們最終想到踢球時，他們沒有運球、傳球或團隊合作的技巧。他們玩得很開心，但最後他們還是不知道足球比賽的感覺。

第一種方法（在比賽前教授所有規則）是數學家可能稱之為足球的嚴謹方法，而第二種方法（不考慮規則就比賽）是他們可能稱之為直覺的方法。嚴謹強調規則。直覺強調玩法。好的教學和好的學習都需要兩者兼顧。一位優秀的足球教練從教男孩們一些最重要的規則開始，讓他們練習一些基本練習，然後讓他們比賽。一開始，他可能更強調直覺，讓他們多比賽，這樣他們就能瞭解比賽是如何進行的，以及比賽的樂趣所在。後來，當他們對比賽產生了興趣時，他更多地關注技能和練習，關注規則、策略和戰術。

開始幾何學習的老師也面臨著與足球教練相同的問題：強調嚴謹還是強調直覺？遵循優秀教練的例子，本章強調直覺，同時引入一些嚴謹。具體來說，本章在對歐幾里得幾何的直觀處理的背景下介紹了許多幾何的基本概念和大部分術語。後面的章節將以更大的嚴謹性重新審視這些主題。

因此，例如，本章討論了歐幾里得幾何，但沒有解釋是什麼讓它成為歐幾里得幾何，也沒有提及其他型別的幾何。同樣，由於初級幾何學家將點視為點，本章解釋了點就像一個無限小的點。這是一個有用的心理意象，已經為幾何學家服務了 2000 多年。對幾何的嚴謹方法沒有定義點這個詞，但這本文件為後面的章節保留了這種微妙而令人困惑的慣例。同樣，本文假設讀者已經對面積和體積以及用於測量它們的單位有所瞭解，因此沒有試圖定義和解釋標準的面積和體積單位。


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