幾何/第 19 章

求解直角三角形

為了使用三角函式求解直角三角形，可以使用一個簡單的首字母縮略詞：SOH-CAH-TOA；SOH 代表正弦（對邊/斜邊），CAH 代表餘弦（鄰邊/斜邊），TOA 代表正切（對邊/鄰邊）。

這項工作主要使用計算器完成，因為正弦、餘弦和正切函式沒有簡單的分析公式。

要求解直角三角形的角度，可以使用相同的 SOH-CAH-TOA 方法，只是使用 $\arcsin$ (對邊/斜邊)、$\arccos$ (鄰邊/斜邊) 和 $\arctan$ (對邊/鄰邊)。

示例問題

示例一：查詢直角三角形的缺失部分

在一個直角三角形中，有一個銳角為 38 度，斜邊為 15 米，求解缺失的角和邊。

解答

另一個銳角可以透過認識到三角形的角之和始終為 180 度來找到。因此，

$180^{\circ }=38^{\circ }+90^{\circ }+(m<B)$，所以 $(m<B)=52^{\circ }$。使用 SOHCAHTOA，我們看到

$\sin(38^{\circ })$ = 對邊長度/斜邊。因此，$\sin(38^{\circ })={\frac {a}{15}}\ \Rightarrow \ a=15\sin(38^{\circ })=9.23$ 米。為了找到鄰邊，

我們使用餘弦函式和公式 $\cos(38^{\circ })={\frac {b}{15}}\ \Rightarrow \ b=15\cos(38^{\circ })=11.82$ 米。

勾股定理關係

這是超越基本三角函式或概念的一步。它涉及三個可以根據給定問題的需要進行操作的方程式。這三個方程式如下

${\begin{aligned}\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\\1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)\\1+\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)\end{aligned}}$

這些可以很容易地操作以找出範圍廣泛的複雜問題。為此，我們將使用 1 - sin²θ 的例子。當我們檢視上面的方程式時，我們發現它與第一個方程式 (sin²θ + cos²θ = 1) 非常相似。事實上，sin²θ 只是被減掉了。使用這個原理，我們就可以將問題解為 cos²θ = 1-sin²θ。很簡單，對吧？

練習題

使用勾股定理關係解出以下方程式

1. tan²θ + 1 =
2. sec²θ - 1 =
3. csc²θ - cot²θ =
4. sin²θ + cos²θ =
5. sec²θ - tan²θ =
6. sin²θ - 1 =

驗證更復雜的恆等式

現在我們開始討論三角函式世界中更復雜的函式。為了解決或證明這些函式或方程，我們必須運用之前學過的所有數學技能。我們需要使用因式分解、勾股定理表、反三角函式（sec θ = 1/cos θ，csc θ = 1/sin θ，cot θ = 1/tan θ）以及解決問題所需的任何其他知識。

這是一個非常高階的數學。為了開始這節課，讓我們看一個例子。

證明（使右邊看起來像左邊，不要觸碰左邊）

sin θ /(sin θ + cos θ) = tan θ /(1 + tan θ)

我們可以看到 tan θ 除以 1 + tan θ。為了開始這個問題，讓我們求出共同的公分母。

tan θ /(cos θ/cos θ + sin θ/cos θ)

現在我們可以將下面的兩個方程合併起來，看起來像這樣。

tan θ /((cos θ + sin θ)/cos θ)

為了簡化這個表示式，將 tan θ 用 sin θ 和 cos θ 表示。

(sin θ/cos θ)/((cos θ + sin θ)/cos θ)

現在我們可以乘以倒數來消除下面的分母。

((sin θ/cos θ)*cos θ)/(((cos θ + sin θ)/cos θ)*cos θ)

注意，這個表示式仍然被 sin θ + cos θ 除。當我們相乘時，cos θ 將互相抵消，所以只剩下

sin θ/(sin θ + cos θ)

這恰好是我們試圖證明的答案！

雖然這可能看起來很複雜，但你只需要多加練習。讓我們來看一個更復雜的例子。

證明（使左邊看起來像右邊，不要觸碰右邊）

(2 sin θ cos θ)/(sin²θ - cos²θ + 1) = cot θ

當我們看到這樣的方程時，它可能看起來不可能。讓我們回顧一下基礎知識。當我們看到下面的部分時，我們看到有一個 -cos²θ 和一個 +1。當我們看勾股定理表時，1 - cos²θ 等於 sin²θ。

(2 cos θ sin θ)/(sin²θ + sin²θ)

然後我們可以將兩個 sin²θ 加在一起。

(2 sin θ cos θ)/(2 sin²θ)

然後我們可以進一步簡化這個表示式為

cos θ / sin θ

我們可以這樣做，因為 sin θ 將抵消，只剩下一個 sin θ（2/2²=1/2，對吧？），然後兩個 2 將抵消。剩下 cos θ / sin θ，即 cot θ！

練習題

1. 證明（使右邊看起來像左邊，不要觸碰左邊）

   (1 - sin θ)/(cos θ) = cos θ /(1 + sin θ)

2. 證明（使左邊看起來像右邊，不要觸碰右邊）

   (cot θ - tan θ)/(tan θ cos²θ) = csc²θ - sec²θ

3. 證明（使左邊看起來像右邊，不要觸碰右邊）

   tan θ/(1 + sec θ) + (1 + sec θ)/tan θ = 2 csc θ

4. 證明（使左邊看起來像右邊，不要觸碰右邊）

   tan²θ/(1 + tan²θ) = sin²θ

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