跳轉到內容

幾何/第 6 章

Add links
來自華夏公益教科書

三角形不等式

[編輯 | 編輯原始碼]

三角形不等式 指出三角形中任意兩邊的長度之和必須大於第三邊的長度。

例如，如果你有一個邊長為 A、B 和 C 的三角形。那麼你知道

  • A + B > C
  • A + C > B
  • C + B > A

在歐幾里得幾何中，不可能畫出一個違反三角形不等式的三角形。

使用三角形不等式

[編輯 | 編輯原始碼]

三角形不等式可以用來求三角形邊長。例如，假設你有一個邊標記為 A、B 和 C 的三角形。如果你知道 A = 7，B = 5，那麼你可以透過以下步驟計算 C 的近似值

語句原因
7 + 5 > C三角形不等式
12 > C加法的定義
C < 12小於的定義


所以我們知道三角形的第三邊小於 12，但這對我們幫助不大。事實證明，三角形不等式可以再次幫助我們。

語句原因
C + 5 > 7三角形不等式
C > 7 - 5減法的定義
C > 2減法的定義


在這種情況下，C 可以取值的範圍。C 必須大於 2 且小於 12。2 < C < 12。

因此，事實證明任何三角形的第三邊的度量都落在了其他兩邊之和與差之間。示例：如果兩邊是 9 和 6，那麼剩餘邊的度量將在 15（9 和 6 的和）和 3（9 和 6 的差）之間。這將導致以下不等式：3 < c < 15。

有很多三角形可以滿足我們的條件。

練習

[編輯 | 編輯原始碼]

1) 嘗試畫一個違反三角形不等式的三角形。

2) 對於以下每一組 A、B 和 C，請說明這 3 個長度是否可以作為三角形的邊。

  • A = 3，B = 4，C = 5
  • A = 3，B = 8，C = 5
  • A = 14，B = 5，C = 8
  • A = 5，B = 5，C = 5

3) 假設你有一個邊長為 12 和 2 的三角形，寫一個證明，說明第三邊可以取值的範圍。使用上面所示的兩欄格式。

三角形不等式定理

[編輯 | 編輯原始碼]

在任何三角形中，最長邊與最大角相對，中等長度的邊與中等度量的角相對，最短邊與最小角相對。

示例問題在三角形 ABC 中，如果角 A 為 100 度，角 B 為 35 度，角 C 為 45 度，那麼從最長到最短的邊長是多少？

答案

       Since side BC is opposite the largest angle, it is the largest side.
       Since side AB is opposite the middle sized angle, it is the middle sized side.
       Since side AC is opposite the smallest angle, so it is the smallest side.

兩個三角形中的三角形不等式：鉸鏈定理或 SAS 不等式定理

[編輯 | 編輯原始碼]

如果一個三角形的兩邊與第二個三角形的兩邊全等，並且第一個三角形中這兩邊之間的角大於第二個三角形中這兩邊之間的角，那麼第一個三角形的第三邊大於第二個三角形的第三邊。

        Example: If triangles ABC and DEF have sides AB = DE and 
        AC = DF and m<A = 80 degrees and m<D = 70 then BC > EF.

兩個三角形中的三角形不等式：鉸鏈定理的逆定理或 SSS 不等式定理

[編輯 | 編輯原始碼]

如果一個三角形的兩邊與第二個三角形的兩邊全等，並且第一個三角形中這兩角之間的邊大於第二個三角形中這兩角之間的邊，那麼第一個三角形的第三個角大於第二個三角形的第三個角。

      Example: If triangles ABC and DEF have the sides 
        AB = DE BC = EF and AC > DF then, angleB > angleE.
取自 “https://wikibook.tw/w/index.php?title=Geometry/Chapter_6&oldid=4431645”
華夏公益教科書