幾何/第 11 章

第 11.1 節數集和域

您熟悉許多或全部術語 *自然數*、*整數*、*有理數* 以及 *無理數*、*實數*、*複數*。幾何學使用縮寫和集合符號來表示這些。*集合* 是指一組獨特的物件，例如數字。以下命題描述了以縮寫方式表示的數集：自然數是 $\mathbb {N}$ ，整數是 $\mathbb {Z}$ （來自德語單詞 *zahlen* [ˈtsaːlən]），有理數是 $\mathbb {Q}$ （商），實數是 $\mathbb {R}$ ，複數是 $\mathbb {C}$ ，並且左側的每個集合都是右側所有集合的 *子集*，即包含在集合內的集合，這由類似於 $<$ 的符號表示，因為右側的每個集合都大於左側的所有集合，或者看起來大於左側的所有集合，儘管在某些情況下它們是相等的。如果您知道某些集合如何相等，那很好，但主要請注意右側的集合比其左側的所有集合都具有更高的複雜性。

命題 11.0

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

讓我們使用 *集合構建符號* 來回顧這些集合的定義。以下是自然數；有兩種定義它們的方式。大括號內的所有物件都是同一集合的元素，即成員。

計數數字

$\{1,2,3,\ldots \}$

整數

$\{0,1,2,3,\ldots \}$

整數是計數數字和負整數：很明顯任何計數數字都可以稱為整數。

整數

$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$

每個數集都代表一條數軸，帶有下標的集合表示從 0 到下標減 1 的數字，例如 $\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ 。這就是計數數字從 0 開始的原因。

以下語句使用符號 |，表示“使得以下為真”（人們通常直接說“使得”）和 $\in$ （希臘字母 eta）。eta 左側的物件是 eta 右側集合的元素。任何整數都可以寫成有理數，但有理數包括分數/小數。

命題 11.1

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}$

有理數、實數和複數是域，它們比集合更高一級。域的一個特性是它們以某種更復雜的方式排序；如果您注意到定義有理數的方式使用了一些更復雜的排序，那很好。

命題 11.2

$\mathbb {R}$ 實數僅僅是有理數的和，它們等於無限小數，例如 $3.141592\ldots$

任何有理數都可以寫成一個實數（例如，後面有無限個零），但實數包括無理數。還有更復雜的方法來定義實數，你現在不需要知道，但如果你想知道，可以閱讀康托爾蛇。

$\mathbb {C}$ 複數包括虛數，任何非虛數都可以寫成複數。這些在幾何中很少使用，除了高階主題，但有一些關於它們你可能會發現有趣的東西。帶有上標n的數字集表示n維的集合，定義n條正交的數軸。

命題 11.3

$\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C}$

第 11.2 節實空間中的維數集合

射線表示 $\mathbb {N}$ ，直線表示 $\mathbb {Z}$ ， $\mathbb {Q}$ ，但射線和直線比集合更連續（'看起來很堅實'）。

命題 11.4

$\mathbb {R}$ 表示實數軸，它是無限的。

帶有上標符號的數字集表示該符號中的集合，並且 $\cup$ 符號左側和右側的物件被定義為在同一個集合中。例如 $\mathbb {R} ^{+}\cup 0$ 是從 0 到無窮大的實空間射線。回想一下 $\mathbb {R}$ 是一條直線，並且它是一條真實的（連續的；看起來'很堅實'）直線，並且回想一下 $\mathbb {R} ^{2}$ 是 2 條正交的直線。