幾何/第 14 章

勾股定理

勾股定理展示了直角三角形兩條直角邊 (a 和 b) 與斜邊 (c) 之間的關係。我將使用的直角三角形如下所示。

勾股定理指出，在直角三角形中，直角邊 a 的平方 (a²) 加上直角邊 b 的平方 (b²) 等於斜邊 c 的平方 (c²)。

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

總結：勾股定理是 a²+b²=c²，或直角邊² + 直角邊² = 斜邊²。它只適用於直角三角形。

既然我們已經瞭解了勾股定理，那麼請看一下下面的圖形。

看看這個大方形。大方形的面積可以寫成

(a+b)(a+b)

或者寫成

(a+b)²

因為每條邊的長度都是 (a+b)。看看中間傾斜的正方形。它的面積可以寫成

c².

現在，看看大方形角上的每個三角形。每個三角形的面積是

½ab

有四個三角形，所以四個三角形合起來的面積是

4(½ab)

大方形的面積等於四個三角形的面積加上傾斜正方形的面積。這可以寫成

(a+b)²=c²+4(½ab)

使用代數，這可以簡化。

      (a+b)²=c²+4(½ab)
      (a+b)(a+b)=c²+2ab  
      a²+2ab++b²=c²+2ab

 -2ab      -2ab

a²+b²=c²

現在我們可以看到勾股定理為什麼成立，或者換句話說，我們可以看到勾股定理的證明。

但是，這個證明不是基於歐幾里得幾何。它不是基礎的。

還有數千種其他證明勾股定理的方法。

總結：勾股定理可以使用圖形來證明。