幾何/面積

圓的面積

找到圓面積的方法是

$Area=\pi r^{2}$

其中$r$ 是圓的半徑；從圓上任意一點到圓心的線段。

三角形的面積

這裡提到了三種計算三角形內部面積的方法。

第一種方法

如果將三角形的一條邊選作底，那麼就可以定義三角形和該底的高。高是垂直於底的線段，高的端點是非底邊的頂點和底邊或底邊延長線上的一個點。設 B = 選作底邊的邊長。設
h = 垂直於底的線段，即高的端點之間的距離。然後三角形的面積由以下公式給出：

$Area={\frac {B\cdot h}{2}}$

這種計算面積的方法在底及其對應高在三角形中易於確定時非常有效。這在三角形是直角三角形時尤其如此，並且可以確定包含$90^{\circ }$ 角的兩邊的長度。

第二種方法

主要文章：海倫公式

，也稱為海倫公式

如果知道三角形三邊的長度，就可以用海倫公式計算三角形的面積。首先，必須計算半周長 s，方法是將三邊長度的和除以 2。對於三邊長度為$a,b,c$ 

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

然後三角形的面積由以下公式給出：

$Area={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

如果三角形是針狀的，也就是說，其中一條邊比另外兩條邊短很多，那麼計算面積可能很困難，因為所需的精度大於計算器或計算機的精度。換句話說，海倫公式在數值上是不穩定的。另一個更穩定的公式是

$Area={\frac {\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}{4}}$

其中$a,b,c$ 已經排序，使得$a\geq b\geq c$ 。

另請參閱 MathWorld 上的海倫公式 和 JAVA 的浮點數如何損害每個地方的每個人

第三種方法

在一個邊長為 $a,b,c$，角為 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的三角形中，

$A={\frac {ab\sin(\gamma )}{2}}={\frac {bc\sin(\alpha )}{2}}={\frac {ac\sin(\beta )}{2}}$

這個公式成立是因為在公式 $A={\frac {Bh}{2}}$ 中，$h=\sin(\gamma )$。它很有用，因為您無需在單獨的步驟中從角度求出高度，它也被用來證明正弦定理（將上述方程中的所有項除以 $a\cdot b\cdot c$，您將直接得到它！

矩形的面積

矩形的面積計算很簡單，也很容易理解。選擇其中一邊作為底邊，其長度為 $b$。然後相鄰的一邊是高，長度為 $h$，因為在矩形中，相鄰的邊垂直於選定的底邊。矩形的面積由以下公式給出：

$A=b\cdot h$

有時，底邊長度可能被稱為矩形的長度 l，高度被稱為矩形的寬度 w。然後面積公式變為

$A=l\cdot w$

無論對邊使用什麼標籤，這兩個公式都是等效的。

當然，邊長為 $s$ 的正方形的面積將是

$A=s^{2}$

平行四邊形的面積

平行四邊形 在他們自己的章節中描述。

可以使用矩形面積公式來確定平行四邊形的面積。公式是

$A=b\cdot h$

• $A$ 是平行四邊形的面積。
• $b$ 是底邊。
• $h$ 是高度。

高度是一條垂直線段，連線一個頂點與其對邊（底邊）。

菱形的面積

請記住，在菱形中，所有邊長都相等。

$A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}$

其中 $d_{1},d_{2}$ 代表對角線。

梯形面積

梯形的面積是透過取其兩條平行邊的算術平均值來推導的，形成一個面積相等的矩形。 $A={\frac {(b_{1}+b_{2})\cdot h}{2}}$ 其中 $b_{1},b_{2}$ 是兩條平行底邊的長度。

風箏面積

標準風箏四邊形

風箏的面積是基於將風箏沿每條對角線分成四塊，並將這些塊用來形成一個面積相等的矩形。

$A={\frac {ab}{2}}$

其中 $a,b$ 是風箏的對角線。

或者，風箏可以被其較長的對角線 $a$ 分成兩半，每半都是一個三角形。 因此，每個三角形的面積是

${\frac {a\cdot {\dfrac {b}{2}}}{2}}$

其中 $b$ 是風箏的另一條（較短的）對角線。

而風箏的總面積（由兩個相同的三角形組成）是

$2\cdot {\frac {a\cdot {\dfrac {b}{2}}}{2}}=a\cdot {\frac {b}{2}}={\frac {ab}{2}}.$

有關更多詳細資訊，請參見 w:風箏（幾何）#屬性。

其他四邊形的面積

其他 四邊形 的面積計算起來稍微複雜一些，但如果四邊形是定義良好的，仍然可以找到。 例如，一個四邊形可以分成兩個三角形，或者三角形和矩形的組合。 可以找到組成多邊形的面積並用算術加起來。

定義角度的面積

圓形扇形的面積是整個圓形的面積的一部分。 當圓的半徑為二的平方根時，圓的面積為 2 π，扇形的弧度測量對應於整個圓形面積的比例。 在微積分中，另一種稱為雙曲線的角度與指數函式有關。 這種型別的角度也對應於雙曲線 xy=1 的扇形的面積。 面積測量的使用提供了一種統一這些角度型別的方法。 見 統一的角度。

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