工程聲學/聲懸浮

定義

聲懸浮利用聲輻射來提升物體。它主要涉及非線性現象（因為作用在物體上的力是由於波動的非線性特性造成的）。

開發聲學反應器的動機

由聲輻射壓力產生的力通常遠大於電磁輻射壓力，這使得這些力的研究變得有趣且值得注意。

其次，這種現象將允許進行成功的無容器實驗。以下說明了此類研究的重要性：

動力學研究可以分為兩類：

1. 第一類包括固定在壁上的材料。
2. 第二類包括粒子進出裝置的流動。

現有方法的缺點是隻能使用一種型別的粒子。因此，報告的行為並不準確（因為第一種情況中的壁和第二種情況中的周圍粒子會對正在研究的行為產生影響）。

這種消除壁可以提供進一步的見解，除了減少與其他粒子的相互作用之外（例如：透過處理單個氣泡）。

實現這種空氣應用的一種方法是採用聲學的一種迷人應用，即聲懸浮，它涉及使用聲輻射懸浮物體。

這種現象及其對應技術的應用可以包括在太空中不使用任何容器的情況下進行材料加工。這在研究極具腐蝕性的材料時可能特別有用。

此外，聲致發光 和聲空化會遇到這種聲力。

其他應用可以包括測量密度和分析表面張力起重要作用的流體動力學。最後，聲定位是另一種潛在的應用。

• 探索新聞 列出了聲懸浮的一個有趣應用。
• 火星上的聲懸浮 說明了這項技術的冒險應用。

聲學反應器的組成部分

圖 1：裝置示意圖

一個簡單的聲學反應器需要一個：

• 換能器來產生所需的聲波。這些換能器通常會產生強烈的聲波，聲壓級超過 150 dB。
• 一個反射器

為了聚焦聲音，換能器和反射器通常具有凹形表面。縱向聲波在反射器上的反射會導致壓縮和稀疏之間的干涉。完美的干涉將產生駐聲波，即在任何時間似乎都具有相同位置的波。

透過這種簡單的換能器和反射器配置，可以實現穩定的懸浮，但無法控制樣品。為了做到這一點，Weber、Rey、Neuefeind 和 Benmore 在他們的論文中描述了一種使用兩個換能器的配置。這些換能器透過改變聲相（透過電子方式進行）來調整位置。

單泡聲致發光

當單個氣泡遇到非線性動態時，就會發生這種現象，即快速壓縮氣泡先於緩慢膨脹。當氣泡快速壓縮時，它會變得非常熱，以至於會發出閃光。

圖 2：聲致發光 - 機制

理論

(來源：Löfstedt 和 Putterman 的長波長聲輻射壓力的理論)

從動量守恆的積分形式開始，

${\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial \Pi _{ij}}{\partial r_{j}}}=0$

$\int _{v}{\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}+\int _{S_{o}}\Pi _{ij}dS_{j}+\int _{S_{K}}\Pi _{ij}dS_{j}=0$

其中

$\Pi _{ij}$是應力張量，

$\rho ,v$是區域性流體密度和速度，

$S_{o}$是物體表面（在時間t），

$S_{K}$是遠離物體的一個表面，以及

V 是由這些表面包圍的體積。

利用關係，

$\int _{v}{\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}dr+{\frac {d}{dt}}\int \rho v_{i}dr-\int _{S_{o}}\rho v_{i}v_{j}dS_{j}=0$

${\frac {d}{dt}}\int \rho v_{i}dr+\int _{S_{o}}(\Pi _{ij}-\rho v_{i}v_{j})dS_{j}+\int _{S_{R}}\Pi _{ij}dS_{j}=0$

對該方程進行時間平均，得到作用在運動球體上的力的表示式

$\langle F_{i}\rangle =\langle \int _{S_{o}}(\Pi _{ij}-\rho v_{i}v_{j})dS_{j}\rangle =-\int _{S_{R}}\langle \Pi _{ij}\rangle dS_{j}=0$

假設理想流體，

對應力張量的伽利略不變貢獻是

$\Pi _{ij}-\rho v_{i}v_{j}=p\delta _{ij}$

和

$p=-\rho _{eq}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}-\rho _{eq}v^{2}/2+{\frac {\rho _{eq}}{2c^{2}}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}$

這裡，$v=\nabla \phi$

$\rho _{eq}$代表平衡密度

$c$表示聲速

理想流體中物體上的聲輻射力為

$\langle F_{i}\rangle =-\int _{S_{R}}{[-{\frac {\rho \langle v^{2}\rangle }{2}}+{\frac {\rho }{2c^{2}}}\langle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}^{2}\rangle +\rho \langle v_{i}v_{j}\rangle ]dS_{j}}$

聲輻射力的多極展開

考慮線性波動方程，

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta ^{2}\phi =0$

其中

$\phi =\phi _{i}+\phi _{s}$

這裡$\phi _{i}$由換能器給出，

$\phi _{s}$由物體上的相應邊界條件給出，其中 s 代表 '散射'

$\phi _{s}=Re\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}h_{n}(kr)P_{n}(cos\theta )e^{-i\omega t}$

$h_{n}$是外向球面漢克函式

$P_{n}$是勒讓德多項式

$\omega =kc$

k：施加在物體上的聲場的波數

當 r 趨於無窮大時，

$\lim _{r\to \infty }\phi _{s}\to Re{\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{n}(-i)^{n+1}B_{n}P_{n}(cos\theta )$

對於駐波，

$\phi _{i}=ReAsin(kz)e^{-i\omega t}$

因此，透過計算 $\phi$ 並將其代入輻射力的表示式，我們得到

$F_{z}=2\pi \rho A[coskz_{o}(ImB_{o})-sinkz_{o}(ImB_{1})$ ............................................ (1)

球形物體上的輻射力

考慮一個半徑為 $R_{o}$、密度為 ρ_o 的球體。

球體內部的波動方程為： $:{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}-c_{o}^{2}{\nabla ^{2}\Phi _{o}}-\zeta _{o}\rho _{o}{\frac {\partial \nabla ^{2}\Phi _{o}}{\partial t}}=0$

其中

$\Phi _{o}$是速度勢

$c_{o}$是球體內的聲速

$\zeta _{o}$表示球體中的阻尼

(忽略了熱傳導和剪下粘度的影響)

該方程的解為

$:\Phi _{o}=Re\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}j_{n}(k_{o}r)P_{n}(cos\theta )e^{-i\omega t}$

其中$j_{n}$是球貝塞爾函式

$k_{o}$是複數（由於耗散）

$k_{o}=k_{o}+i\alpha _{o}$

其中

$k_{o}=\omega /c_{o}$

$\alpha _{o}=k_{o}^{2}\zeta _{o}/2c_{o}\rho _{o}$

這裡，$\alpha _{o}$是球體中聲波的衰減係數

邊界條件為

$\rho \Phi (R_{o})=\rho _{o}\Phi _{o}(R_{o})$

在 r =$R_{o}$

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {\partial \Phi _{o}}{\partial t}}$

為了滿足這些條件，入射波使用球諧函式展開

$sin(kz)=sin(kz_{o})\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}(kr)P_{2l}cos\theta +cos(kz_{o})\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n+1}(kr)P_{2l+1}cos\theta$

其中

$a_{2l}={\frac {4l+1}{2}}.\int _{-1}^{1}coskrxP_{2l}(x)dxa_{2l+1}={\frac {4l+3}{2}}.\int _{-1}^{1}sinkrxP_{2l+1}(x)dx$

利用上述關係，可以計算 $a_{o}$

$a_{o}={\frac {sinkr}{kr}}.$

當$kR_{o}<<1$

$sinkz=sinkz_{o}[1-{\frac {1}{2}}.k^{2}r^{2}cos^{2}\theta +...]+coskz_{o}[krcos\theta -...]$

駐波情況下的邊界條件可以推導如下

對於單極項，

$\rho Asinkz_{o}-\rho B_{o}{\frac {ie^{ikR_{o}}}{kR_{o}}}=\rho _{o}C_{o}j_{o}(x_{o})$,

和

$-A({\frac {k^{2}R_{o}}{3}}sinkz_{o}+B_{o}e^{ikR_{o}}({\frac {1}{R_{o}}}+{\frac {i}{(kR_{o})^{2}}})=C_{o}k_{o}j_{o}^{'}(x_{o})$

對於偶極項

$\rho A(kR_{o})coskR_{o}-\rho B_{1}e^{ikR_{o}}({\frac {1}{kR_{o}}}+{\frac {i}{(kR_{o})^{2}}})=\rho _{o}C_{1}j_{1}(x_{o})$,

和

$Akcoskz_{o}+B_{1}e^{ikR_{o}}({\frac {-i}{R_{o}}}+{\frac {2}{kR_{o}^{2}}}+{\frac {2i}{k^{2}R_{o}^{3}}})=C_{1}k_{o}j_{1}^{'}(x_{o})$,

其中

$x_{o}=k_{o}R_{o}$

$B_{1}$和$B_{o}$可以作為A的函式獲得

使用這些關係$B_{o}$和$B_{1}$在輻射力表示式中，我們得到

因此，球體上的輻射力由下式給出：

$F_{z}=-\pi k^{3}R^{3}A^{2}sin2kz_{o}Re[f_{o}+f_{1}]$

其中 $f_{o}={\frac {(1/3)(\rho _{o}/\rho )k^{2}R_{o}^{2}b_{o}(x_{o})+1}{k^{2}R_{o}^{2}[1+(\rho _{o}/\rho )b_{o}(x_{o})+ikR_{o}]}}$

$f_{1}={\frac {(\rho _{o}/\rho )b_{1}(x_{o})-1}{2(\rho _{o}/\rho )b_{1}(x_{o})+1}}$

其中

$b_{o}(x_{o})={\frac {j_{o}(x_{o})}{x_{o}j_{o}^{'}(x_{o})}}$

$b_{1}(x_{o})={\frac {j_{1}(x_{o})}{x_{o}j_{1}^{'}(x_{o})}}$

如果我們忽略阻尼，假設 $x_{o}<<1$ 並假設球體是不可壓縮的（即 $c_{o}$ 趨於無窮大），那麼輻射力簡化為

$F_{z}=-\pi k^{3}R_{o}^{3}A^{2}sin2kz_{o}\rho _{o}{5\rho _{o}-2\rho \over 3(2\rho _{o}+\rho )}$

這個關於輻射力（在駐波場中）的表示式最初是由 King 推匯出來的。請注意，輻射力與半徑的立方成正比，並且與速度振幅成正比。

假設

1. kR << 1，即聲場的波長遠大於球體的尺寸。
2. 不可壓縮物體（由 King 使用，儘管 Gorkov 推匯出了允許球體有限壓縮性的結果）

當作用在球體上的所有力之和等於零時，球體懸浮，即當重力產生的力平衡向上浮力時。

因此，物體被吸引到最小勢能區域（壓力節點）。反節點是經歷高壓的區域。

為了確保產生駐波，換能器必須放置在反射器的一定距離處，並且應該使用特定頻率才能獲得滿意的結果。這個距離應該是聲波產生的波長的一半的倍數，以確保節點和反節點是穩定的。

其次，聲波產生的輻射壓力的力的方向必須平行於重力的方向。

由於穩定的區域應該足夠大，並且能夠支撐要懸浮的物體，物體的尺寸應該介於波長的三分之一到二分之一之間。重要的是要注意，頻率越高，試圖懸浮的物體的尺寸越小（因為波長和頻率彼此成反比）。

物體的材料也很重要，因為密度和尺寸將給出其質量的值，並確定重力，因此確定壓力輻射產生的向上力是否合適。

在討論材料特性時，另一個重要的特徵是Bond 數，它在處理液滴時很重要。它表徵了表面張力和液體的尺寸相對於周圍流體的關係。Bond 數越低，液滴爆裂的可能性越大。

最後，要實現如此高的壓力（可以抵消重力），線性波是不夠的。因此，非線性波在聲懸浮中起著重要作用。這很容易成為聲懸浮研究具有挑戰性的原因之一。非線性聲學是一個處理難以理解的物理現象的領域。根據實驗觀察，重的球體傾向於速度反節點，輕的粒子更靠近節點。

其他影響懸浮力的因素

溫度、壓力、流體介質特性（密度、粒子速度）會影響懸浮力。重要的是要記住，介質會隨著條件的變化而變化。流體介質由反應物和產物組成，它們會隨著反應速率而變化。

因此，懸浮力會受到影響。為了補償介質變化，可以使用共振跟蹤系統（它有助於在研究的粒子下保持穩定的懸浮）。

設計注意事項

所研究的球體或粒子應該經歷一個側向力，該力將作為定位力（以及更明顯的垂直懸浮力）球體繞其軸旋轉將確保均勻加熱和穩定性。

使用非球形粒子

當懸浮非球形粒子時，物體的最大橫截面將最終垂直於駐波軸對齊。

行波與駐波

King 發現駐波產生的輻射壓力遠大於行波產生的壓力（行波與駐波具有相同的振幅）。

這是因為駐波產生的壓力是由於入射波和散射波之間的干涉。行波產生的壓力是由於散射場的貢獻。

參考文獻

1. Löfstedt 和 Putterman 關於長波長聲輻射壓力的理論
2. 曹竹友 a、劉淑琴 a、李志敏 a、龔明利 a、馬玉龍 b 和王成浩 b 開發的聲懸浮反應器
3. HowStuffWorks

有用網站

1. 球形漢克爾函式
2. 勒讓德多項式
3. 多極展開