工程聲學/非線性聲學引數

非線性聲學引數

在許多非線性聲學現象的應用中，聲介質的非線性程度可以透過一個稱為非線性引數的值來量化。這種約定通常歸因於 Robert T. Beyer，源於他 1960 年發表的題為《流體中的非線性引數》 的有影響力的論文，以及他隨後關於非線性聲學主題的著作。 值得注意的是，在漢密爾頓的《非線性聲學》教科書中， Beyer 將這個概念歸因於 Fox 和 Wallace 在 1954 年的早期著作。

非線性引數的數學基礎源於將擾動壓力 p ' 與擾動密度 ρ ' 聯絡起來的泰勒級數。從物理上講，這些小的擾動值是相對於由密度值 &rho _o 和恆定熵 s = s_o 定義的環境狀態而言的。

$p'=A\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)+{\frac {B}{2!}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)^{2}+{\frac {C}{3!}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)^{3}+...$

其中係數 A、B、C 給出了泰勒展開中每一項的幅度。由於係數 B、C 應用於平方項和立方項，因此它們代表了壓力 p ' 與密度 ρ ' 之間關係的非線性。A、B 和 C 的值可以通過幾種技術進行實驗測定。 當已知壓力和密度之間的本構關係時，也可以使用 A、B 和 C 的泰勒級數定義來計算值。在後面的章節中將討論為此目的使用理想氣體或泰特狀態方程。泰勒級數係數定義為

$A=\rho _{o}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{\rho _{o},s_{o}}=\rho _{o}c_{o}^{2}$

$B=\rho _{o}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}P}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\rho _{o},s_{o}}$

$C=\rho _{o}^{3}\left({\frac {\partial ^{3}P}{\partial \rho ^{3}}}\right)_{\rho _{o},s_{o}}$

其中，環境聲速的定義為 (∂p/∂ρ)_ρo,so = c_o²，已應用於證明：A = ρ_o c_o²。對於非線性聲學中的大多數問題，使用該展開式的前兩項足以表示遇到的密度擾動範圍。在這種情況下，該級數簡化為

$p'=A\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)+{\frac {B}{2}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)^{2}$

這種截斷導致了流體中通常被稱為非線性引數的B/A。透過從截斷級數的兩個項中提取A = ρ_o c_o²，B/A的物理意義變得更加明顯

$p'=\rho 'c_{o}^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)\right]$

該表示式表明，比率B/A 量化了非線性對給定狀態ρ' / ρ_o 的區域性壓力擾動的影響。類似地，也可以證明引數B/A 量化了區域性聲速隨擾動密度的變化，具體公式如下：

$c=c_{o}\left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)\right]$

B/A 與狀態方程的冪律關係

對於狀態方程 (EOS) 的冪律方程，例如液體的 Tait-Kirkwood EOS 或理想氣體的等熵壓縮，B/A 引數可以與已知的冪律係數相關聯。為了證明這種關係，計算了壓力相對於密度的偏導數∂p/∂ρ，然後將其應用於擾動壓力的泰勒級數p' 。使用理想氣體 EOS 而不是 Tait 時最終結果與顯示的結果相同。

${\frac {P+D}{P_{o}+D}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma }$

${\frac {\partial P}{\partial \rho }}=\left(P_{o}+D\right){\frac {\gamma }{\rho _{o}}}\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma -1}$

在環境狀態下（ρ = ρ_o）對一階導數進行評估，得到線性聲速的實用方程式：c_o² = γ(P_o+D) / ρ_o。將此表示式代入以簡化∂p/∂ρ，並繼續計算∂²p / ∂ρ²，得到

${\frac {\partial P}{\partial \rho }}=c_{o}^{2}\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma -1}$

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial \rho ^{2}}}=c_{o}^{2}{\frac {\left(\gamma -1\right)}{\rho _{o}}}\left({\frac {\rho }{\rho _{o}}}\right)^{\gamma -2}$

將這些一階和二階導數代入p'關於ρ'的泰勒級數，得到從冪律 EOS 推匯出的方程式，可以與之前包含 B/A 引數的級數進行比較。

$p'=c_{o}^{2}\rho '+{\frac {c_{o}^{2}\left(\gamma -1\right)}{2\rho _{o}}}\rho '^{2}+...$

$p'=c_{o}^{2}\rho '\left[1+{\frac {\left(\gamma -1\right)}{2}}\left({\frac {\rho '}{\rho _{o}}}\right)\right]+...$

此最終方程式表明p'的兩個泰勒級數相同，B/A被(γ-1)代替。因此，對於遵循泰特-柯克伍德 EOS 的液體和已知絕熱指數的等熵條件下的理想氣體

${\frac {B}{A}}=\gamma -1$

B/A 的示例值

表 1 提供了各種氣體、液體和生物材料中 B/A 引數的示例值。每個樣本都包含參考溫度，因為特定材料的B/A值會隨溫度而變化。表 2 包含幾種有機材料，因為非線性聲學效應在生物醫學超聲應用中尤為突出。

表 2：流體的 B/A 示例值。

材料	B/A	參考溫度 oC	參考
雙原子氣體（空氣）	0.4	20
蒸餾水	5.0	20
蒸餾水	5.4	40
鹽水	5.3	20
乙醇	10.5	20

表 2：有機材料的 B/A 示例值。

材料	B/A	參考溫度 oC	參考
甘油	9.1	30
血紅蛋白 (50%)	7.6	30
肝臟	6.5	30
脂肪	9.9	30
膠原蛋白	4.3	25