工程聲學/聲學微型泵

微型管道應用

聲流對於微流控系統非常理想，因為它起源於粘性力，而粘性力是低雷諾數流動中的主要力量，通常會阻礙微流控系統。此外，聲流力隨著通道尺寸的減小而有利地縮放，通道尺寸是聲波傳播透過的流體。^[1] 由於粘性損失導致的聲衰減，雷諾應力梯度表現為驅動聲流的體力，以及來自流動拉格朗日分量的聲流。^[2] 有關聲流基本理論的更多資訊，請參閱工程聲學/聲流。當應用於微通道時，聲流原理必須包括體積粘性效應（在遠離邊界層的地方占主導地位，儘管由邊界層聲流驅動），在 Nyborg^[3]於 1953 年開發的經典解決方案中得到了廣泛研究，以及邊界層內的聲流。在微加工通道中，通道尺寸與邊界層厚度相近，因此必須評估內邊界層聲流和外邊界層聲流，才能對聲流微型泵的流速進行精確預測。

下面的推導是針對圓形截面恆定通道，假設入射聲波是平面波，並束縛在充滿粘性流體的通道內。^[4] 聲波具有已知的振幅，並充滿整個橫截面，聲波沒有反射。還假設通道壁是剛性的。這一點很重要，因為剛性邊界相互作用會導致邊界層聲流，而邊界層聲流主導著通道尺寸與管道粘性流動相關聯的邊界層大小相當或更小的情況下的流動剖面。該推導源於 Nyborg 開發的聲流方程，他從牛頓流體的可壓縮連續性方程以及納維-斯托克斯方程和動力學方程開始，得到了單位體積淨力的表示式。Eckart^[5] 使用 successive approximations 方法，將壓力、速度和密度表示為一階項和二階項的總和。由於一階項解釋了變數的振盪部分，因此時間平均值為零。二階項源於聲流，是速度、密度和壓力的與時間無關的貢獻。由於流體中聲輻射粘性衰減引起的這些非線性效應導致了恆定聲流速度[1]。

然後，將變數的展開式（透過近似方法）代入描述流體的標準力平衡方程，得到兩個方程[5]，其中

$(1)\ -F=-\nabla p_{2}+\left(\beta _{\mu }+{\frac {4}{3}}\mu \right)\nabla \nabla u_{2}-\mu \nabla \times \nabla \times u_{2}$

$(2)\ -F\equiv \rho _{0}|\left(u_{1}\cdot \nabla u_{1}\right)+u_{1}\left(\nabla \cdot u_{1}\right)|$

其中符號 $|expression|$ 表示時間平均，$F$ 是體力密度，$\beta _{\mu }$ 是體積粘度，$p_{2}$ 是二階壓力，$\mu$ 是動力粘度，$\rho _{0}$ 是密度，$u_{2}$ 是流動速度，$u_{1}$ 是聲速。 聲速在軸向和徑向兩個方向上的二維表示分別描述為：

$(3)\ u_{1x}=V_{a}e^{-(\alpha +ik)x}\left(1-e^{-(1+i)\zeta z}\right)e^{i\omega t}$

$(4)\ u_{1z}={\frac {-V_{a}e^{-(\alpha +ik)x}\left(\alpha +ik\right)\left(1-e^{-(1+i)\zeta z}\right)e^{i\omega t}}{\left(1+i\right)\zeta }}$

其中

$\zeta ={\frac {\omega \rho _{0}}{2\mu }}$

其中 $V_{a}$ 是聲源處的聲速，$k={\frac {\omega }{c_{0}}}$ 是波數，$c_{0}$ 是流體中的聲速，而 $\alpha$ 是聲吸收係數。 $\zeta$ 項描述了粘性滲透深度，即邊界層的大小。公式 (3) 和 (4) 中給出的聲速分量可以代入公式 (2) 以求解一階體力。這分別給出了軸向和徑向分量中每單位體積的一維體力。

$(5)\ F_{xv}=\rho _{0}V_{a}^{2}e^{-2\alpha x}$

$(6)\ F_{xb}={\frac {1}{2}}\rho _{0}V_{a}^{2}e^{-2\alpha x}\left[ke^{-\zeta z}\left(cos(\zeta z)+sin(\zeta z)-e^{-\zeta z}\right)+\alpha e^{-\zeta z}\left(e^{-\zeta z}-3(cos(\zeta z)+sin(\zeta z)\right)\right].$

$F_{xv}$ 和 $F_{xb}$ 是由於粘性損失和聲波接觸剛性邊界[5]而產生的體力的表示式。在公式 (1) 上施加無滑移邊界條件，並插入公式 (5) 和 (6)，可以找到流速 $u_{2}$。假設微分壓力為零，並且可以透過用任何流體元素的零淨流量邊界條件評估公式 (1) 來推匯出靜壓頭。公式 (1) 的解，即流速分佈，分別包含兩項，與粘性效應（外邊界層流）和邊界層效應（內邊界層流）相關，結果是

$(7)\ u_{2v}={\frac {\alpha \rho _{0}V_{a}^{2}h^{2}}{2\mu }}\left({\frac {z}{h}}\right)\left(1-{\frac {z}{h}}\right)$

$(8)\ u_{2b}={\frac {V_{a}^{2}}{4c_{0}}}\left[1+2e^{-\zeta z}\left(sin(\zeta z)-cos(\zeta z)\right)+e^{-2\zeta z}\right]$

計算管徑上的速度分佈時，將這兩個表示式相加。在無滑移條件下，外部邊界層流動對聲流速度的貢獻隨著直徑的減小而減小，其分佈類似於無限寬矩形通道中的Hele-Shaw流動 [7]。圖1展示了水中這種直徑縮放效應，聲速為 $A=.1m/s$，驅動頻率為2 MHz。

圖1：不同通道尺寸（微米）下速度分佈的縮放。

許多研究小組，例如Rife等人 [7]，低估了聲流在小於 $10\mu m$ 的通道中所具有的潛力，因為他們忽略了內部邊界層流動速度。邊界層效應與直徑無關。在水中，聲學邊界層約為1微米，因此，對於直徑約為10微米或更小的管道，聲流速度會明顯增加。 從圖2所示的內部邊界層聲流的速度分佈來看，隨著通道直徑的減小，邊界層效應的影響越來越有利。需要注意的是，內部邊界層聲流的幅值不受直徑的影響，而經歷邊界層聲流的通道比例隨著通道直徑的增加而減小。

圖2：不同通道尺寸下，內部邊界層聲流影響的通道直徑百分比。

然後，圖3所示的包含粘性效應和邊界層效應的總流動速度分佈呈現出隨著通道直徑減小而變得更加類似塞流的流動分佈。

圖3：歸一化後的總聲流速度分佈，展示了通道直徑的影響。

驅動頻率對具有恆定直徑且邊界層貢獻顯著的通道的速度分佈有影響。對於一個 $10\mu meter$ 的通道，在水中典型引數和聲速為 $A=.1m/s$ 的情況下，圖4顯示了內部邊界層貢獻對頻率的依賴關係。需要注意的是，聲流的粘性貢獻也顯示出來，但沒有表現出頻率依賴性。對於小通道（小於10微米），內部邊界層聲流在低頻下會影響通道中更大的部分。

圖4：隨著驅動頻率的降低，內部邊界層聲流佔據的通道尺寸比例更大，而粘性貢獻不受影響。

圖5給出了總的聲流速度分佈。從這個圖中可以看出，將驅動頻率與通道幾何形狀匹配對於微納流體器件實現最大流速至關重要。

圖5：總的聲流速度分佈，展示了驅動頻率的影響。2MHz和10微米通道的匹配產生了最大的體積流量。

微流體中的驅動

在微流體系統中，可以使用壓電致動器在液體中施加聲波場。這種效應甚至可以透過器件的壁傳遞。優點是致動器不需要與工作流體接觸。 由於聲流效應垂直於諧振器發生，因此可能難以將致動器與典型的微加工技術相結合，因為這些技術通常會產生微流體網路的二維佈局。針對聲流開發的解決方案假定聲波相對於通道軸是平面的。因此，最能產生可預測流動的配置是將聲波源（壓電體積聲諧振器）放置在通道軸向指向致動器表面的法線方向的位置。 圖6展示了從頂部向下俯視器件時的這種配置。

圖6：基於Rife等人 [7] 開發的一種聲流微泵。BAW 壓電致動器以黑色顯示，箭頭表示流動方向。

壓電致動器以黑色顯示。這種微加工器件的卡通圖是基於Rife等人 [7] 建立的器件。他們器件的尺寸大約為1.6 mm平方（遠大於邊界層尺寸），這使得他們使用Nyborg提出的不包括內部邊界層聲流的經典解進行的預測是有效的，正如圖3所示，遠大於邊界層尺寸的通道受聲流這部分的影響很小。然而，在微加工技術的背景下采用這種配置對於非常小的通道來說很困難。Rife等人 [7] 成功地將壓電致動器手動放置在銑入PMMA塊的通道開口端的垂直方向，儘管他們的通道尺寸遠大於邊界層效應占主導地位或貢獻顯著的尺寸。對於更小的通道，唯一的選擇是將致動器放在微加工流體迴路的底部或頂部 [8]。這種配置如圖7所示，會導致聲波反射。反射或駐波將使聲流分析變得複雜。

圖7：基於Hashimoto等人 [8] 建立的一種平面微加工微泵。每隔一個BAW致動以在一個方向驅動流動。黑色矩形表示啟用的BAW壓電器件。透過關閉它們並激活棕色器件，可以反轉流動。

另一種引發聲流的方案來自表面聲波 (SAW) 在與流體介質接觸時衰減 [6]。在這種情況下，沿著與流體接觸的表面傳播的瑞利波（或蘭姆波）的橫向分量有效地被轉換為流體中的壓縮波。SAW中的能量被流體耗散，並且在遠離SAW源（叉指壓電致動器）的基底中幾乎感受不到干擾。圖8是該原理的卡通圖。

圖8：在與液體接觸的固體基底中，將SAW轉換為平面聲壓波 [6]。

只有當SAW的速度大於液體的聲速時，這種情況才成立。從表面輻射的壓縮波以瑞利角離開，該角由

$(9)\ \phi _{R}=arcsin({\frac {V_{a}}{V_{R}}})$

其中 $V_{R}$ 是表面聲波的速度。因此，理論上，兩個產生SAW的致動器可以彼此相對放置，以便在流體中沿通道產生駐波場，併產生平行於通道軸的傳播平面波。圖9展示瞭如何實現這一點。

圖9：平行SAW聲流微泵。

最後，圖10展示了一種非常有趣的泵，它使用聲駐波和擴散噴嘴，由Nabavi和Mongeau開發。

圖10：無閥聲駐波微泵。

雖然這款泵不使用相同的聲流原理，但它仍然被包括在內，因為它利用聲波來產生流動。活塞的相對較小的運動產生的駐波在波腹處具有最大壓力，在波節處具有最小壓力。將入口和出口放置在這兩個位置，允許流體在迴圈中壓力在波腹處超過擴散器噴嘴的排放壓力後立即進入腔室。最重要的是，擴散器噴嘴出口具有不對稱的阻力。在流體被噴出且腔室中的壓力暫時低於環境壓力後，流體不會直接從出口流回，而是從壓力波節處進入，那裡壓力較低。這種巧妙的設計允許實現無閥泵裝置。擴散器噴嘴的正向和反向流動阻力不同，因此觀察到從共振腔流出的淨質量流量。

Langelier等人開發了另一種有趣的微通道流體液滴精確定位泵，它在共振腔中使用了類似的聲駐波。 這種泵不像Nabavi和Mongeau的聲駐波泵那樣使用壓電膜在共振腔中產生聲駐波，而是將共振腔充滿空氣並連線到一個較大的容器，該容器的一端連線著揚聲器。多個四分之一波長共振腔被調諧到特定的頻率，每個腔具有不同的長度和寬度。然後，連線到每個共振腔的不同管道可以由一個源啟用，每個管道獨立地取決於揚聲器發出的頻率。與Nabavi和Mongeau的聲駐波泵一樣，出口位於峰值壓力幅度點，在本例中位於共振腔的末端。透過整流結構，從共振腔流出的振盪流體流量被轉換為微流體通道中的脈衝流。