工程聲學/諧波產生

非線性諧波產生

如衝擊的定性描述條目中所述，任何介質中的有限振幅波都會經歷一個陡化現象，最終形成衝擊波。對於強流和波條件，其中流體速度與聲速大小相近，u/c_o ≥ O(1)，其中u是粒子速度，c_o是環境聲速，向衝擊波的轉變發生得很快，可以稱為區域性效應。對於較弱的波條件，其中u/c_o << 1，但非線性效應仍然可以觀察到，波陡化發生在許多波長內，可以稱為累積效應。在這種波強度的範圍內，波形變形的另一個重要結果是在傳播波形中積累諧波成分。

行波變形

為了描述變形波形的諧波成分，可以對由邊界活塞驅動的在 x⁺ 方向傳播的平面波的情況進行一些分析，邊界活塞速度為u_o = sin(ωt)，其中ω是驅動頻率，t是時間變數。在這種情況下，產生的聲場只取決於x⁺波，因此屬於簡單波假設，可以使用無粘性流體中傳播波的簡化方程來定義：

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(c+u\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(c_{o}+\beta u\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

$\beta =1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}$

β 與 B/A 之間的關係是為了突出與非線性聲學引數的關係。給出的方程描述了一個傳播的平面波，其中任何特定點的傳播速度由（c_o + βu）的區域性值給出，而不是在假設線性波的情況下僅僅是c_o。對於最初的正弦波形，波峰以最大的速度傳播，而平衡點只以環境聲速傳播。這種進展在圖 1 中定性地描述，其中波形最大值、最小值和平衡點的軌跡（波速）被繪製出來。由於波形上不同點的軌跡不平行，因此波形在傳播過程中會變形。變形速率取決於波形中不同軌跡之間的差值大小，而這些差值又取決於誘導的粒子速度和流體的 B/A 值。因此，如果對兩種流體施加相同的邊界速度，則 B/A 值較高的流體將比 B/A 值較低的流體表現出更快的波形變形。

圖 1：初始正弦波形漸進變形。在 x-t 軸上繪製了波峰 (c + v)、區域性平衡 (c_o) 和波谷 (c + v) 的區域性軌跡。

根據無粘性流體中給出的漸進波方程——以及圖 1 中描述的過程——波峰最終將趕上並超過波前，形成一個不連續的激波。在真實流體中，這並不一定是唯一可能的結果，因為所有真實流體中的聲波在傳播過程中都會在一定程度上衰減。對於許多耗散過程，波的影響與 ω² 成正比， 因此，產生的高次諧波比基頻衰減得更厲害。在這方面，耗散的影響阻礙了波陡化，對於一些波幅，可以達到準穩態波形，其中非線性陡化效應與耗散效應完美平衡。

只要有足夠的振幅，或者流體幾乎無粘性，就會在漸進波中形成激波。這就是為什麼在水中比在空氣中更容易出現累積變形導致激波的原因，因為在所需的波幅下，空氣可能具有很高的耗散性。雖然在接下來的部分中沒有討論，但激波形成後，新的諧波成分的生成仍在繼續。該過程的分析描述與給出的分析在根本上沒有區別，因為使用了弱激波假設。有關激波後狀態的更多詳細資訊，請參閱 Blackstock 的開創性論文 或者非線性聲學方面的各種參考書。

使用特徵線法得到的解的頻率分析

對變形波形 u(x,t) 最直觀的分析解是在使用基於特徵線法 的方法時得到的。當應用於平面漸進波時，這種方法在激波的定性描述 條目中進行了描述。許多非線性聲學方面的參考書中都討論了重點關注中間波形以及激波形成特性的問題，包括 Hamilton 和 Blackstock 的書， Elfno， Beyer， 或者 Pierce。

如圖 1 所示，這種方法的本質是在由 dx/dx = (c + u) 定義的特徵路徑上投影已知值或常微分方程。對於由正弦邊界 u_o = sin(ωt) 驅動的單個傳播波的情況，解法特別簡單，因為域中的每個位置都對應於只有一條特徵路徑，該路徑承載著 u、c 等等的恆定值。在域中的任何位置，都可以識別特徵路徑，並使用相應的 u 值來構建解。在下面的例子中，使用 Elfno 中描述的隱式方程來計算波形

$u=u_{o}\sin \left(\tau +{\frac {\beta u}{c_{o}^{2}}}x\right),$

$\tau =t-{\frac {x}{c_{o}}}$

在這個特定的例子中，波幅被設定為在五個波長後達到激波形成。為了普遍性，所有解的幅度都以無量綱形式給出。對於流體，非線性引數設定為 B/A = 5.0，這對應於 20^oC 的新鮮水。 圖 2 的上半部分給出了空間波形，其中波陡化很明顯。在圖 2 的下三個面板中，顯示了速度波的頻譜，當其穿過紅色條帶指示的區域時。頻譜圖是使用每個指示位置的計算時域訊號的離散傅立葉變換 (DFT) 獲得的。

圖 2：變形漸進波的諧波成分。β = 3.5，對應於 20^oC 的蒸餾水的 B/A = 5.0。

在頻譜中，其中 f_o = 2πω，漸進波在驅動邊界 x = 0 處僅包含基頻。重要的是，還可以看到傳播和變形後的波形僅包含初始頻率的整數諧波，並且這些諧波的幅度隨著傳播距離的增加而增加。

對諧波輪廓的直接解析解

雖然特徵線法提供了空間和時域波形，可以從中分析頻率成分，但還有更直接的方法可以用來直接求解變形漸進波的諧波成分。再次考慮由正弦邊界條件 u_o = sin(ωt) 驅動的平面波的例子。當系統輸入是週期性的時，獲得一般解的一種常用方法是假設一個週期性的系統響應，該響應用傅立葉級數 表示。正如 Pierce 所示， 將這種方法應用於漸進波問題，得到級數解為

$u\left(\omega \tau ,\sigma \right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\left(\sigma \right)\sin \left(n\omega \tau \right)$

$\sigma ={\frac {x}{x_{\text{shock}}}}$

$\tau =t-{\frac {x}{c_{o}}}$

$B_{n}\left(\sigma \right)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\left(\omega \tau ,\sigma \right)\sin \left(n\omega \tau \right)d\left(\omega \tau \right)$

從這種解的形式來看，係數的大小可以直接得到諧波振幅，而完整的傅立葉級數則可以得到時域和空間域的解。這種方法的挑戰在於傅立葉係數的計算。在非線性聲學中，這種解首先歸因於 1935 年的 Fubini ，其中對積分項進行了處理，以得到貝塞爾函式的積分形式，因此諧波分量可以根據以下公式直接定義：

$B_{n}(\sigma )={\frac {2u_{o}}{n\sigma }}J_{n}(n\sigma )$

其中 J_n 是第一類 貝塞爾函式。歷史上，Blackstock 在 1966 年的後續工作 對這個解的物理意義進行了澄清，也讓這個解在非線性聲學領域得到了更廣泛的應用。有關這個推導的更多細節，請參考 Pierce 、Elfno 或 Hamilton 的著作。為了完整起見，圖 3 繪製了連續諧波曲線作為歸一化傳播距離的函式。波的條件與圖 2 中計算的條件相同。在這個特定的例子中，衝擊形成發生在五個波長處；然而，繪製的諧波曲線對於任何 x_shock 值都具有普遍性。

圖 3：變形前進波的連續諧波曲線。β = 3.5，對應於 20^oC 下蒸餾水的 B/A = 5.0。