工程聲學/自調諧亥姆霍茲共鳴器噪聲控制

引言

許多工程系統會產生不必要的聲學噪聲。可以使用工程噪聲控制方法來降低噪聲。亥姆霍茲共鳴器是一種在消聲器中很受歡迎的噪聲控制方法，參見 此處。它由一個腔體組成，該腔體透過一個或多個短窄管連線到感興趣的系統。汽車排氣系統是經典的例子。透過新增一個調諧的亥姆霍茲共鳴器，聲音會反射回聲源。

至少從古希臘時代起，亥姆霍茲共鳴器就被用來增強或衰減聲場，當時它們被用在古代圓形劇場中來減少混響。從那時起，亥姆霍茲共鳴器在教堂等混響空間以及管道和管道的消聲器中得到了廣泛的應用。亥姆霍茲共鳴器效應是 此處看到的日間天窗抖動現象的基礎。亥姆霍茲共鳴器的一個優點是它的簡單性。但是，亥姆霍茲共鳴器有效的頻率範圍相對較窄。因此，這些裝置需要精確地調諧到噪聲源才能實現顯著的衰減。

噪聲與振動控制

噪聲和振動控制有四大類：

1. 主動系統： 使用揚聲器等致動器來載入或解除安裝不需要的噪聲 [1] 和 聲學/主動控制
2. 被動系統： 使用 [2] 來實現聲音衰減

   2.1. 亥姆霍茲共鳴器和膨脹室等反應式裝置。

   2.2. 吸聲襯裡和多孔膜等阻性材料

3. 混合系統： 使用主動和被動元件來實現聲音降低 [3]
4. 自適應-被動系統： 使用被動裝置，其引數可以改變以在工作頻率範圍內實現最佳噪聲衰減。

亥姆霍茲共鳴器的集總元件模型

亥姆霍茲共鳴器是一種聲學濾波器元件。如果亥姆霍茲共鳴器的尺寸小於聲波長，那麼亥姆霍茲共鳴器的動態行為可以建模為一個集總系統，參見 [4]。它實際上是質量和彈簧組合，可以被數學處理。大量的空氣是彈簧，頸部的空氣是振盪質量。阻尼以頸部兩端的輻射損失以及頸部中振盪空氣的摩擦引起的粘性損失的形式出現。圖 1 顯示了亥姆霍茲共鳴器和振動吸收器之間的這種類比。

圖 1. 亥姆霍茲共鳴器和振動吸收器

引數定義

引數	定義	引數	定義
$M_{a}$	共鳴器的聲學質量	$C_{a}$	聲學順應性
$\rho$	流體密度	P	頸口入口處的壓力
ω	激勵頻率	S	頸口的橫截面積
a	頸口的半徑	L	實際頸口長度
y	指向頸口內部的位移	V	亥姆霍茲共鳴器的腔體積
F	作用在共鳴器頸口入口處y方向上的力	Leff	有效頸口長度（包括頸口內部的質量和頸口邊緣附近的質量）

亥姆霍茲共鳴器的理論分析

對於兩端都為法蘭的頸口，L_eff大約為

$L_{\text{eff}}=\ L+\ 1.7\ a$

亥姆霍茲共鳴器的聲學質量由下式給出

$M_{a}=L_{\text{eff}}\ \rho \ S$

共鳴器的剛度定義為順應性的倒數，它定義為

$k_{r}={\frac {dF}{dy}}$

其中

$F=P\ S$

對於空氣作為理想氣體的絕熱系統，共鳴器的熱力學過程方程為

$PV^{\gamma }={\text{constant}}\,$

對該方程進行微分得到

$V^{\gamma }dP+P\gamma V^{\gamma -1}dV=0\,$

腔體積的變化為

$dV=-Sdy\$

將這些代入微分方程，可以將其重新表示為

$V^{\gamma }{\frac {dF}{S}}-P\gamma V^{\gamma -1}Sdy=0\Rightarrow {\frac {dF}{dy}}={\frac {P\gamma S^{2}}{V}}=k_{r}$

或者考慮到 $P=\rho R\ T$ 和 $c={\sqrt {\gamma RT}}$，共鳴器剛度則為

$k_{r}={\frac {\rho c^{2}\ S^{2}}{V}}$

其中c是聲速，$\rho$是介質的密度。

亥姆霍茲共鳴器中可以考慮兩種阻尼來源：頸口的聲輻射和頸口的粘性損失，在許多情況下，與輻射損失相比，粘性損失可以忽略不計。

1. 頸口的聲輻射：聲輻射阻抗是頸口外部幾何形狀的函式。對於法蘭管，輻射阻抗近似為

$R_{r}={\frac {\rho ck^{2}\ S^{2}}{2\pi }}$

其中 k 是波數，$k={\frac {w}{c}}$

2. 頸部的粘性損失： 粘性損失引起的機械阻力可以被認為是

$R_{v}=2R_{s}S{\frac {\ (L+a)}{\rho ca}}$

其中，對於足夠大的頸部直徑，R_s 為

$R_{s}=0.00083{\sqrt {\frac {w}{2\pi }}}$，其中 ω 是激勵頻率。

機械系統的機械阻抗定義為驅動力的比值和驅動點處系統的速度。驅動質量-彈簧-阻尼系統的機械阻抗是

${\hat {Z}}_{m}={\frac {\hat {F}}{\hat {u}}}=R_{m}+j(\omega m-{\frac {k_{r}}{w}})$

根據亥姆霍茲共鳴器和質量-彈簧-阻尼系統（振動吸收器）之間的類比，亥姆霍茲共鳴器的機械阻抗可以透過將亥姆霍茲共鳴器系統中的質量和阻尼替換到上述方程中得到

${\hat {Z}}_{mres}=(R_{v}+{\frac {\rho ck^{2}\ S^{2}}{2\pi }})+j(\omega \rho L_{eff}S-{\frac {\rho c^{2}\ S^{2}}{wV}})$

亥姆霍茲共鳴器的固有頻率 w₀ 是電抗為零時的頻率

$w_{0}=c{\sqrt {\frac {S}{L_{\text{eff}}V}}}$,

亥姆霍茲共鳴器的聲阻抗為

${\hat {Z}}_{res}={\frac {{\hat {Z}}_{mres}}{\ S^{2}}}$

當共鳴器的固有頻率等於激勵頻率時，就會發生共鳴。亥姆霍茲共鳴器通常用於在系統最初處於共鳴時衰減聲壓。下圖顯示了一個簡單的帶側支亥姆霍茲共鳴器的開端管道系統，以及該系統的類比電路。對於無阻尼共鳴器，共鳴時的阻抗為零，因此根據圖 2 中的電氣類比，亥姆霍茲共鳴器變成了短路。右側的元件沒有電流流動。另一方面，共鳴時的無阻尼亥姆霍茲共鳴器會導致所有聲波反射回源，而在有阻尼共鳴器中，一些電流會流過亥姆霍茲共鳴器右側的分支，從而降低衰減的幅度。

圖 2. 帶側支亥姆霍茲共鳴器的開端管道系統，以及連線點 A 附近的類比電路

1- 共鳴器體積對聲音衰減的影響

圖 3 顯示了上述管道系統在沒有亥姆霍茲共鳴器的情況下，以及在具有相同固有頻率的兩個不同體積的亥姆霍茲共鳴器下的頻率響應。激勵頻率軸相對於直管系統的基頻歸一化，該基頻也被選為共鳴器的固有頻率。對於帶側支亥姆霍茲共鳴器的管道系統，當共鳴器的固有頻率等於激勵頻率時，聲壓的衰減最大。透過比較兩個不同顏色的曲線（藍色和灰色），可以看出，為了增加亥姆霍茲共鳴器的衰減有效頻寬，裝置應儘可能大。需要注意的是，為了最大限度地減少裝置內部駐波的影響，尺寸不超過共鳴器固有頻率的四分之一波長。

圖 3. 共鳴器體積對聲音衰減的影響

2- 共鳴器阻尼對聲音衰減的影響

圖 5 顯示了亥姆霍茲共鳴器阻尼（由輻射阻力和頸部粘性損失引起）對管道系統頻率響應的影響。輕阻尼亥姆霍茲共鳴器對激勵頻率的變化不魯棒，因為如果噪聲頻率移動到兩個系統共鳴點附近，管道系統中的聲壓可能會被放大。為了增加亥姆霍茲共鳴器對激勵頻率變化的魯棒性，可以將阻尼新增到共鳴器中，以降低共鳴峰值的幅度。這種魯棒性的增加會降低效能，因為對於重阻尼亥姆霍茲共鳴器，最大衰減會明顯降低。建立可調亥姆霍茲共鳴器的動機源於這種魯棒性和效能之間的權衡。可調亥姆霍茲共鳴器能夠調整其固有頻率以匹配激勵頻率，因此能夠保證輕阻尼亥姆霍茲共鳴器的 高效能，並跟蹤頻率的變化。

圖 4. 共鳴器阻尼對聲音衰減的影響

自適應亥姆霍茲共鳴器

可調諧亥姆霍茲共振器是一種可變體積的共振器，它允許調整共振頻率。如圖 5 所示，可變體積亥姆霍茲共振器可以透過在共振腔內旋轉一個內部徑向壁相對於一個內部固定壁來實現。活動壁固定到底部端板，該端板連線到一個直流電機，以提供改變體積的運動。

圖 5. 可變體積亥姆霍茲共振器

為了確定管道中任何位置的聲壓和體積速度（例如圖 2 中的麥克風位置），我們應該首先確定揚聲器處的壓力和速度。

圖 5. 圖 2 中管道系統的等效電路

圖 6. 簡化的等效電路

系統終端的聲阻抗，即一個無法蘭的開管，近似為

$Z_{1}={\frac {\rho c}{S_{p}}}({\frac {1}{4}})(ka)^{2}+j0.6ka$

其中 S_p 是管道的橫截面積，a_p 是管道的半徑。點 2 處的阻抗為

${\frac {Z_{2}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}={\frac {{\frac {Z_{1}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}+jtan(kL_{1})}{1+j{\frac {Z_{1}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}tan(kL_{1})}}$

其中 L₁ 是將終端與共振器分隔開的管道的長度。共振器聲阻抗與上面顯示的相同。點 3 處的聲阻抗由下式給出

$Z_{3}={\frac {Z_{2}Z_{res}}{Z_{2}+Z_{res}}}$

點 4 處的阻抗可以透過以下公式確定

${\frac {Z_{4}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}={\frac {{\frac {Z_{3}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}+jtan(kL_{2})}{1+j{\frac {Z_{3}}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}tan(kL_{2})}}$

最後，揚聲器處的阻抗由下式給出

${\frac {Z_{sys}}{\frac {\rho c}{S_{enc}}}}={\frac {{\frac {Z_{4}}{\frac {\rho c}{S_{enc}}}}+jtan(kL_{enc})}{1+j{\frac {Z_{4}}{\frac {\rho c}{S_{enc}}}}tan(kL_{enc})}}$

其中 S_enc 是揚聲器外殼的橫截面積，L_enc 是外殼孔徑到揚聲器的長度。

從圖 6 和系統阻抗 (Z_{sys})，可以確定揚聲器處的壓力和速度。考慮傳遞矩陣，可以根據揚聲器處的壓力和速度計算管道系統中任何位置的壓力和速度。第一個傳遞矩陣可用於將直管道中下游點的壓力和速度與管道起點的壓力和速度聯絡起來。

${\begin{bmatrix}P_{d}(l)\\U_{d}(l)\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}cos(kL)&-jsin(kL){\frac {\rho c}{S_{p}}}\\-j{\frac {sin(kL)}{\frac {\rho c}{S_{p}}}}&cos(kL)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{d}(0)\\U_{d}(0)\end{bmatrix}}$

第二個矩陣將旁支管下游的壓力和速度與旁支管之前的壓力和速度相關聯。

${\begin{bmatrix}P_{d}(3)\\U_{d}(3)\end{bmatrix}}$=${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{Z_{res}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{d}(2)\\U_{d}(2)\end{bmatrix}}$

正確組合這些傳遞矩陣可以用來確定圖 2 中麥克風位置處的系統壓力。

附錄 A：帶亥姆霍茲共鳴器的直管的 Matlab 程式碼

%This Matlab code is used for calculating pressure at the place of
%microphone for the pipe without Helmholtz resonator
clear all
clc
V0=1;
for f=10:1:200;
   omega=2*pi*f;
   freq(f-9)=f;
   c=343;                                     % speed of sound
   rho=1.21;                                  % density of the medium (air)
   ap=0.0254;                                 % radius of the pipe
   Sp=pi*(ap^2);                              % cross sectional area of the pipe
   k=omega/c;                                 % wave number
   Lenc=0.10;                                 %distance separating the enclosure aperture and the speaker face
   L1=0.34+(0.6*ap);                          % length of the pipe separating the termination from the resonator
   L2=0.62+(0.85*ap);                         % length of the pipe between the resonator and speaker enclosure
   Lx=0.254;                                  % length of the pipe from HR to microphone
   Lm=Lx+L2;                                  %distance from speaker to microphon
   Ld=L1+L2;
   Rm=1;                                      % loudspeaker coil resistance
   Bl=7.5;
   Cm=1/2000;                                 %Complience of the speaker
   OmegaN=345;                                %Natural frequency of the speaker(55HZ)
   a=0.0425;                                  %effective radius of the diaphragm
   Senc=pi*(a^2);                             % cross sectional area of the speaker enclosure  (Transformer ratio)
   Mm=0.01;                                   %Air load mass on both side of the driver
   Gamma=1.4;                                 %Specific heat ratio for air
   P0=10^5;
   b=0.38;
   Pref=20e-6;                                %Reference pressure for sound pressure level
       
   %calculate the system impedance
   Z1=(rho*c*Sp)*(((1/4)*((k*ap)^2)+i*(0.6*k*ap))/(Sp^2));      %open ended unflanged pipe
   % impedance at point 4( after speaker)
   Z4=(rho*c/Sp)*(((Z1/(rho*c/Sp))+i*tan(k*Ld))/(1+i*(Z1/(rho*c/Sp))*tan(k*Ld))); 
   Zsys=(rho*c/Senc)*(((Z4/(rho*c/Senc))+i*tan(k*(Lenc)))/(1+i*(Z4/(rho*c/Senc))*tan(k*(Lenc)))); 
   %calculating the impedance of the loud speaker 
   Induct=(Mm/(Senc^2));                                                   
   Resist=((Bl^2)/((Senc^2)*(Rm)));
   Drivimp=Resist+(i*omega*Induct)+(1/(i*omega*Cm));           % impedance moadel for speaker
   Impedance=Zsys+ Drivimp;
   Voltage=V0*Bl/((Rm)*Senc);
   Velocity=Voltage/Impedance;
   Pressure=Velocity*Zsys;
   Pressure=Pressure*sqrt(2);
   Velocity=Velocity*sqrt(2);
   TR1=[Pressure;Velocity];
   TR15=[cos(k*(Lenc)) -i*(rho*c/Senc)*sin(k*(Lenc)); -i*(sin(k*(Lenc)))/(rho*c/Senc) cos(k*(Lenc))];
   TR3=[cos(k*Lm) -i*(rho*c/Sp)*sin(k*Lm); -i*(sin(k*Lm))/(rho*c/Sp) cos(k*Lm)];
   Tf=TR3*TR15*TR1;
   Pmike=Tf(1)/(sqrt(2));                                % pressure at microphone
   Vmike=Tf(2);                                          % velocity at microphone
   MagP(f-9)=20*log10(Pmike/Pref);
end;
nondim=freq/(OmegaN/2/pi);
plot(nondim,MagP,'k-.');
title('frequency response of system with Helmholtz Rsonator');
xlabel('Normalized Excitation Frequency (Hz)');
ylabel('Sound pressure level (dB)');