統計學/機率

擲兩個骰子，它們的和等於7的機率是多少？

機率與一些不可預測性有關。我們知道可能出現哪些結果，但不能確定具體是哪一個。所有可能結果的集合起著基本作用。我們稱之為樣本空間，並用S表示。S的元素稱為結果。擲骰子的樣本空間為S = {1,2,3,4,5,6}。我們不僅談論結果，還談論事件，結果的集合（或樣本空間的子集）。例如，擲骰子時，我們可以詢問結果是否為偶數，這意味著詢問“偶數”事件= E = {2,4,6}。在結果數量有限的簡單情況下，我們為每個結果s (∈ S) 指定其機率（出現機率）p(s)（用小寫p表示），它是一個介於0和1之間的數。這是一個非常簡單的函式，稱為機率函式，其唯一其他屬性是所有機率的總和為1。我們也討論事件A的機率P(A)（用大寫P表示），它只是A中所有結果的機率之和。對於一個公平的骰子，p(s) = 1/6，對於每個結果s，P(“偶數”) = P(E) = 1/6+1/6+1/6 = 1/2。

非有限樣本空間的機率的一般概念稍微複雜一些，儘管它建立在相同的想法之上。

簡介

為什麼在統計學教科書中要學習機率?

數學中很少有真正自包含的東西。許多數學分支相互接觸和相互作用，機率和統計領域也不例外。對機率的基本理解對於理解基本統計學至關重要，而機率在沒有統計學來確定“現實世界”機率的情況下在很大程度上是抽象的。

本節並非旨在對機率進行全面講授，而是簡單地觸及本課程所需的機率基礎，涵蓋貝葉斯分析的基礎知識，以供那些尋求更有趣內容的學生使用。這些知識對於嘗試理解各種分佈的數學原理將非常寶貴，這些分佈將在後面介紹。

集合概念

集合是一組物件。我們通常用大寫字母表示集合，例如，A是這個房間裡所有女性的集合。

• 集合A的成員稱為A的元素，例如，帕特里夏是A的一個元素（帕特里夏∈ A）；帕特里克不是A的一個元素（帕特里克∉ A）。
• 全集U是所考慮的所有物件的集合，例如，U是這個房間裡所有人的集合。
• 空集或空集∅沒有任何元素，例如，這個房間裡身高超過2.8米的男性集合是一個空集。
• 集合A的補集A^c是U中不在A中的所有元素的集合，即，x ∈ A^c 當且僅當 x ∉ A。
• 設A和B為2個集合。如果A的每個元素也是B的元素，則A是B的子集。寫成A ⊂ B，例如，這個房間裡戴金屬框眼鏡的女性集合 ⊂ 戴眼鏡的女性集合 ⊂ 這個房間裡的女性集合。

• 兩個集合A和B的交集A ∩ B是共同元素的集合。即，x ∈ A ∩ B 當且僅當 x ∈ A 且 x ∈ B。

• 兩個集合A和B的並集A ∪ B是A或B中所有元素的集合。即，x ∈ A ∪ B 當且僅當 x ∈ A 或 x ∈ B。

韋恩圖和符號

韋恩圖以視覺方式對定義的事件進行建模。每個事件用一個圓圈表示。具有共同結果的事件將重疊，被稱為事件的交集。

韋恩圖。

計算機率

否定

否定是一種表達“非A”的方式，因此表示A的補集已經發生。注意：事件A的補集可以表示為A'或A^c
例如：“六面骰子不落在1上的機率是多少？”（六分之五，或p = 0.833）

$P[X']=1-P[X]$

事件的補集

或者，更口語化地說，“‘非X’的機率加上‘X’的機率等於1或100%。”

相對頻率描述了成功次數與總結果次數之比。例如，如果拋硬幣50次，其中29次正面朝上，那麼相對頻率是

${\frac {29}{50}}$

兩個事件的並集是指你想知道事件A或事件B。
這與“和”不同。“和”是交集，而“或”是事件的並集（兩個事件合在一起）。


在上面的事件示例中，你會注意到...

事件A是星星和鑽石。

事件B是三角形、五邊形和星星。
(A ∩ B) = (A 和 B) = A 與 B 的交集，只有星星
但 (A ∪ B) = (A 或 B) = A 與 B 的並集，是所有東西。三角形、五邊形、星星和鑽石
注意，事件A和事件B都有星星作為共同點。但是，當你列出事件的並集時，你只列出星星一次！
事件A = 星星，鑽石 事件B = 三角形，五邊形，星星
當你將它們組合在一起時，你得到（星星+鑽石）+（三角形+五邊形+星星），但是等等！星星被列出了兩次，所以需要從列表中減去多餘的星星。
你應該注意到，是交集被列出了兩次，所以你必須減去重複的交集。

合取

事件並集的公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

示例
設 P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，P(A ∩ B) = 0.15。求 P(A ∪ B)。
P(A ∪ B) = (0.3) + (0.2) - (0.15) = 0.35

示例
設 P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，P(A ∩ B) = 0。求 P(A ∪ B)。
注意：由於事件的交集為空集，那麼你便知道事件是分離的或互斥的。
P(A ∪ B) = (0.3) + (0.2) - (0) = 0.5

全機率定理

全機率定理[1] 是一個定理，在離散情況下，它表明如果 {\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\} 是樣本空間的一個有限或可數無限劃分（換句話說，一組兩兩不相交的事件，它們的並集是整個樣本空間），並且每個事件 {\displaystyle B_{n}}B_{n} 是可測的，那麼對於同一個機率空間的任意事件 {\displaystyle A}A

{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})} 或者，另一種說法是[1]

{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}{\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),} 其中，對於任何 {\displaystyle n}n，如果 {\displaystyle P(B_{n})=0}{\displaystyle P(B_{n})=0}，這些項將被簡單地從求和中省略，因為 {\displaystyle P(A\mid B_{n})}{\displaystyle P(A\mid B_{n})} 是有限的。

條件機率

給定另一個事件發生的情況下，一個事件的機率是多少？例如，給定老鼠找到了迷宮的房間，那麼它找到迷宮盡頭的機率是多少？

這用以下方式表示

$P[A|B]$

或“給定B的情況下，A的機率”。

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$

如果A和B彼此獨立，例如拋硬幣或生育孩子，那麼

$P[A|B]=P[A]$

因此，“給定上一個孩子是男孩，那麼下一個孩子是男孩的機率是多少？”

這也可疊加，其中A的機率有幾個“給定”。

$P[A|B_{1},B_{2},B_{3}]$

或“給定B₁、B₂和B₃為真，那麼A的機率是多少？”

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