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幾何平均數

幾何平均數是透過對一組資料的乘積開n次方來計算的。

${\tilde {x}}={\sqrt[{n\;}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$

例如，如果資料集合是

1,2,3,4,5

幾何平均數的計算方法如下

${\sqrt[{5}]{1\times 2\times 3\times 4\times 5}}={\sqrt[{5}]{120}}=2.61$

當然，當n很大時，計算可能很困難。利用對數的兩個性質

$\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)$

$\log(a^{n})=n\cdot \log(a)$

我們發現，對幾何平均數進行對數變換後，得到

$\log \left({\sqrt[{n}]{x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\cdots x_{n}}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})$

這將我們引向幾何平均數的公式

${\tilde {x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log(x_{i})\right)$

何時使用幾何平均數

當幾個數量相加得到總量時，算術平均數是相關的。算術平均數回答了這樣一個問題：“如果所有數量都具有相同的值，那麼為了達到相同的總量，這個值必須是多少？”

同樣，當幾個數量相乘得到積時，幾何平均數是相關的。幾何平均數回答了這樣一個問題：“如果所有數量都具有相同的值，那麼為了達到相同的積，這個值必須是多少？”

例如，假設您有一項投資，第一年回報率為 10%，第二年回報率為 50%，第三年回報率為 30%。它的平均回報率是多少？它不是算術平均數，因為這些數字的含義是，第一年您的投資乘以 (而不是加上) 1.10，第二年乘以 1.50，第三年乘以 1.30。相關數量是這三個數字的幾何平均數。由 Hafiz G m 撰寫

眾所周知，幾何平均數總是小於或等於算術平均數（當 A=B 時，等式成立）。該證明很短，並且來自於這樣一個事實：$({\sqrt {A}}-{\sqrt {B}})^{2}$ 始終為非負數。儘管這個不等式可能非常強大，但在微積分定理證明中卻時常出現。來源.

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